Proyecciones en nuevas coordenadas en el ejemplo PCA

Question

Actualmente estudio análisis de componentes principales en estadística. Se me presenta el siguiente ejemplo:

$\mathbf{X} = [X_1 \ X_2]^T$ un vector aleatorio bidimensional con media $\mathbf{\mu} = [0, -1]^T$ matriz de covarianza $\Sigma$ y pares de valores propios y vectores propios $(\lambda_j, \mathbf{\eta}_j), j = 1, 2$ dado por $$\Sigma = \begin{bmatrix} 2.4 & -0.5 \\ -0.5 & 1 \end{bmatrix}, (\lambda_1, \mathbf{\eta}_1) = \left( 2.56, \begin{bmatrix} 0.95 \\ -0.31 \end{bmatrix} \right), (\lambda_2, \mathbf{\eta}_2) = \left( 0.84, \begin{bmatrix} 0.31 \\ 0.95 \end{bmatrix} \right)$$ Girar el sistema de coordenadas: el primer vector propio coincide con el $x$ -y el segundo con el eje $y$ -Eje.
Calcular proyecciones en las nuevas coordenadas, nuevos valores $W_1$ , $W_2$ : $$W_1 = 0.95X_1 0.31(X_2 + 1) \ \ \ \text{and} \ \ \ W_2 = 0.31X_1 + 0.95(X_2 + 1)$$

Tengo cierta confusión con este ejemplo. ¿Dónde se hicieron estos cálculos $W_1 = 0.95X_1 0.31(X_2 + 1) \ \ \ \text{and} \ \ \ W_2 = 0.31X_1 + 0.95(X_2 + 1)$ ¿De dónde viene? En particular, ¿de dónde $(X_2 + 1)$ mientras que $X_1$ ¿fue elegido para el primer mandato? ¿Qué significa también "el primer vector propio coincide con el $x$ -y el segundo con el eje $y$ -¿Eje"?

Answer 1

Estamos restando de la media, por lo tanto desplazando la media como nuevo origen.

Se nos dice que la media es $[0, -1]$ .

Por lo tanto, primero restamos $0$ de $X_1$ y restamos $-1$ de $X_2$ . Así obtenemos $(X_1, X_2+1)$ .

Después lo proyectamos al vector propio, $(0.95, -0.31)$ esto se hace tomando el producto interior de $(X_1, X_2+1)$ y $(0.95, -0.31)$ .

Lo mismo ocurre con el segundo vector propio.