¿Una integral sin componente diferencial en un número finito de puntos es sólo una suma?

Question

Es una integral $$\int_{\lbrace 1, 2, 3 \rbrace} f(x)$$ simplemente la suma $$\sum_{x=1,2,3} f(x)?$$

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Hago esta pregunta por la generalización a múltiples dimensiones de la integración por partes sobre una región $\Omega$ que incluye una integral lineal $$\oint_{\partial \Omega} \nabla f \cdot \vec n,$$ donde $\partial \Omega$ es el límite de $\Omega$ . En $\mathbb{R}^1$ el límite de $\Omega = [a,b]$ es el conjunto finito $\partial \Omega = \lbrace a, b \rbrace$ y los vectores normales en $a$ y $b$ son $-1$ y $1$ respectivamente, por lo que la integral se simplifica en $f(b) - f(a)$ .

Esto tiene sentido intuitivamente. ¿Funcionan las matemáticas o es sólo una explicación útil?

Answer 1

Depende de cómo defina usted la integración. Si es el sentido usual de Riemann, simplemente obtienes 0. Si estás usando medidas de masas puntuales $\delta_n$ entonces "sí" es una suma. Puedes leer sobre estas cosas aquí .