¿Por qué' la ecuación de Schrödinger no es relativista?

Question

La amplitud de transición para que una partícula que se encuentra en un punto del espaciotiempo aparezca en otro punto no respeta la causalidad, lo que se convierte en una de las principales razones para abandonar la mecánica cuántica no relativista. Imponemos el Hamiltoniano relativista $H=\sqrt{c^2p^2+m^2c^4}$ para obtener la ecuación de Klein-Gordon o más correctamente "añadir" la relatividad especial después de la 2ª cuantización a los campos, lo que muestra cómo aparecen las antipartículas y ayudan a preservar la causalidad en este caso. Aparte de eso, la ecuación ni siquiera es covariante de Lorentz, lo que demuestra que no es relativista.

Pero por qué ¿ocurre esto? Es decir, la ecuación de Schrödinger es consistente con la hipótesis de de Broglie y esta última es tan coherente con la relatividad, que algunos libros incluso ofrecen una "derivación" de la misma equiparando $E=h\nu$ y $E=mc^2$ probablemente resultado de una mala interpretación del trabajo de doctorado de de Broglie. (Aunque una derivación no es exactamente posible). Entonces, la ecuación de Schrödinger debería incluir la relatividad, ¿no? Pero no es así... ¿Cómo desaparece la relatividad de la ecuación de Schrödinger o es que la hipótesis de de-Broglie no "incluía" la relatividad de ninguna manera?

Mi sospecha-La "derivación" no es posible, por lo que el común $\lambda=h/mv $ con m como masa en reposo, no incluye la relatividad de ninguna manera. Fin de la historia. ¿Es esta la razón o hay algo más?

Answer 1

En la Mecánica Cuántica no relativista (NRQM), la dinámica de una partícula se describe mediante la evolución temporal de su partícula asociada. función de onda $\psi(t, \vec{x})$ con respecto a la ecuación no relativista de Schrödinger (SE) $$ \begin{equation} i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(t, \vec{x})=H \psi(t, \vec{x}) \end{equation} $$ con la hamilitoniana dada por $H=\frac{\hat{p}^{2}}{2 m}+V(\hat{x}) .$ Para conseguir un marco invariante de Lorentz (el SE sólo es invariante de Galilei NO de Lorentz), un enfoque ingenuo empezaría por sustituir esta forma no relativista del Hamiltoniano por una expresión relativista relativista como $$ H=\sqrt{c^{2} \hat{p}^{2}+m^{2} c^{4}} $$ o, mejor aún, modificando la SE para hacerla simétrica en $\frac{\partial}{\partial t}$ y la derivada espacial $\vec{\nabla} .$

Sin embargo, la idea central que subyace a la formulación de la Teoría Cuántica de Campos es que esto no es suficiente. Más bien, combinar los principios de la invariancia de Lorentz y la Teoría Cuántica exige abandonar la una sola partícula Enfoque de la Mecánica Cuántica.

• En cualquier Teoría Cuántica relativista, el número de partículas no necesita conservarse, ya que la relación de dispersión relativista $E^{2}=c^{2} \vec{p}^{2}+m^{2} c^{4}$ implica que la energía puede convertirse en partículas y viceversa. Esto requiere una marco multipartículas .
• Este punto suele quedar un poco oculto en libros o conferencias. Unitaridad y causalidad no pueden combinarse en un enfoque de una sola partícula: En Mecánica Cuántica, la amplitud de probabilidad de que una partícula se propague desde la posición $\vec{x}$ a $\vec{y}$ es $$ G(\vec{x}, \vec{y})=\left\langle\vec{y}\left|e^{-\frac{i}{\hbar} H t}\right| \vec{x}\right\rangle $$ Se puede demostrar que, por ejemplo, para el Hamiltoniano libre no relativista $H=\frac{\hat{p}^{2}}{2 m}$ es distinto de cero aunque $x^{\mu}=\left(x^{0}, \vec{x}\right)$ y $y^{\mu}=\left(y^{0}, \vec{y}\right)$ están a una distancia similar en el espacio. El problema persiste si sustituimos $H$ mediante una expresión relativista en el SE.

La Teoría Cuántica de Campos (QFT) resuelve ambos problemas mediante un cambio radical de perspectiva.

Observación 1 : Todavía hay algunos casos (sin embargo, hay muchas sutilezas), donde se puede utilizar RQM en el enfoque de una sola partícula. Entonces la SE se sustituye por la ecuación de Klein-Gordon, por ejemplo. $$ (\Box+m^2)\;\psi(x)=0 $$ donde $\psi(x)$ sigue siendo una función de onda.

Observación 2 : La ecuación de Schrödinger es válida para la RS. No es la SE la que falla, es el Hamiltoniano no relativista el que falla. La ecuación de Dirac es la SE, pero con el Hamiltoniano de Dirac. La ecuación de Schrodinger es válida. $$ i \hbar \frac{\partial \psi(x, t)}{\partial t}=\left(\beta m c^{2}+c \sum_{n=1}^{3} \alpha_{n} p_{n}\right) \psi(x, t)=H_\text{Dirac}\;\psi(x, t) $$

Answer 2

Para hacer mecánica cuántica relativista hay que abandonar la mecánica cuántica de una sola partícula y retomar la teoría cuántica de campos.

La ecuación de Schrödinger es un ingrediente esencial de la teoría cuántica de campos. Afirma $$ \hat{H} {\psi} = i \hbar \frac{d}{dt} {\psi} $$ como se puede adivinar, pero hay mucha sutileza escondida en esta ecuación cuando ${\psi}$ se refiere a un campo cuántico. Si tratas de escribirlo usando números entonces $\psi$ sería una función de cada estado de un campo $\phi$ que a su vez se configura en el espacio y el tiempo. En $\psi$ entonces tendrías un funcional no una función.

En terminología correcta, la ecuación de Schrödinger aquí es covariante, pero no manifiestamente covariante. Es decir, tomaría la misma forma en algún otro sistema de referencia inercial, pero esto no se hace evidente en la forma en que se ha escrito la ecuación.

Pero aquí tenemos una "bestia" muy diferente a la ecuación de Schrödinger que te encuentras cuando haces mecánica cuántica por primera vez. Eso se llamaría ahora mecánica cuántica de una sola partícula. $That$ La ecuación de Schrödinger ciertamente no es covariante, como tampoco lo es toda la estructura de la teoría de la mecánica cuántica de una sola partícula.

La confusión puede deberse a la historia de la ciencia. Los físicos de partículas empezaron a trabajar con la ecuación de Klein-Gordon (KG) con la ilusión de que era una especie de sustituto relativista de la ecuación de Schrödinger, y luego también se pensó así de la ecuación de Dirac. Esta forma de pensar puede ayudar a hacer algunos cálculos básicos para el átomo de hidrógeno, por ejemplo, pero al final hay que renunciar a ella. Para pensar con claridad hay que aprender a cuantificar los campos, y entonces se aprende eso para el espín cero, por ejemplo, ambos el Klein-Gordon y la ecuación de Schrödinger tienen papeles que desempeñar. Papeles diferentes. Ninguna sustituye a la otra. Una afirma con qué tipo de campo se está tratando; la otra afirma la dinámica de la amplitud del campo. $^1$

Sin embargo, nunca he visto esto escrito de forma clara y precisa en la sección introductoria de un libro de texto. ¿Alguien lo ha visto? Me interesaría saberlo.

Posdata sobre las ondas de Broglie

de Broglie propuso su relación entre las propiedades de las ondas y las partículas teniendo muy presente la relatividad especial, por lo que su relación es relativista (el trasfondo es que $(E, {\bf p})$ forma un vector 4 y lo mismo ocurre con $(\omega, {\bf k})$ .) Schrödinger y otros, en su trabajo para comprender la idea de la onda de de Broglie en contextos más generales, se dieron cuenta de que era necesaria una ecuación de primer orden en el tiempo. Según tengo entendido, la ecuación de Schrödinger surgió de una estrategia deliberada para estudiar el límite de baja velocidad. Así que, desde este punto de vista, parece una notable coincidencia que esa misma ecuación aparezca de nuevo en una teoría totalmente relativista. Pero quizá no debería sorprendernos tanto. Después de todo, la segunda ley de Newton, ${\bf f} = d{\bf p}/dt$ sigue siendo exactamente correcta en dinámica clásica relativista.

$^1$ Por ejemplo, para el campo KG libre, la ecuación KG da la relación de dispersión para soluciones de ondas planas. A continuación, la ecuación de Schrödinger indica la dinámica de la amplitud del campo para cada solución de onda plana, que se comporta como un oscilador armónico cuántico.

Answer 3

Un intento de compartir el desarrollo histórico del descubrimiento de la mecánica ondulatoria no relativista por E. Schrödinger en relación con la siguiente pregunta de OP.

"Entonces, la ecuación de Schrödinger debería incluir la relatividad, ¿no? Pero no lo hace... ¿Cómo desaparece la relatividad de la ecuación de Schrödinger o es que alguna vez no "incluyó" la relatividad de ninguna manera?".

Las conferencias del curso impartido por Hermann Weyl en la ETH de Zúrich en 1917 fueron el punto de partida de este viaje por las ecuaciones de onda. Su idea central era, lo que más tarde se conoció como la transformación gauge . Schrödinger había estudiado con gran devoción las notas recopiladas en 1921 ( Influencia en el pensamiento ) y a menudo utilizó la idea central en su obra posterior.

Aplicó la teoría de la medida de Weyl (espacios métricos) a las órbitas de los electrones en los modelos atómicos de Bohr-Sommerfeld. Consideró la trayectoria de un electrón en una única órbita completa y aplicó la condición de Weyl de la trayectoria geodésica, implicando así la existencia de las órbitas cuantizadas. Más tarde se dio cuenta de que este trabajo ya contenía las ideas de de Broglie sobre la órbita de Bohr en términos de ondas de electrones.

En el año 1922, Erwin Schrödinger sufría los tormentos de una enfermedad respiratoria y se había trasladado a la estación alpina de Arosa para recuperarse. Tenía vagas ideas sobre las implicaciones de su formulación acerca de las propiedades de las órbitas de los electrones. Es muy posible que, de haber gozado de mejor salud, las propiedades ondulatorias del electrón le hubieran quedado claras incluso antes que a de Broglie, a partir de su propio trabajo.

De hecho, Einstein había citado los trabajos de de Broglie para establecer una conexión entre la estadística cuántica y las propiedades ondulatorias de la materia, y esto lo sabía Schrödinger, que leyó la mayoría de sus trabajos ( Influencia en el pensamiento ). Schrödinger dijo más tarde que "la mecánica ondulatoria nació en la estadística", refiriéndose a sus trabajos sobre la mecánica estadística de los gases ideales. Dijo que su enfoque no era más que tomar en serio la teoría ondulatoria de Broglie-Einstein de una partícula en movimiento, según la cual la naturaleza de la partícula es como un apéndice de la naturaleza ondulatoria básica.

Para pensar en qué tipo de ondas satisfarían las obritas cerradas y las ecuaciones relativistas, ya pensaba en términos relativistas (relaciones energía -momento) y, por tanto, era natural que su intento de formular la ecuación de onda se apoyara en los cimientos de las ecuaciones relativistas. Su primera derivación de la ecuación de onda para partículas antes de su célebre La cuantificación como problema de valores propios (La cuantización como problema de valores propios) 1926, no se publicó y se basaba por completo en la teoría relativista de De Broglie. .

La prueba crucial de cualquier teoría en aquella época era el átomo de hidrógeno. Era necesario que cualquier nueva teoría reprodujera al menos algunas características del trabajo de Bohr sobre el H -y los números cuánticos. Además, una teoría relativista debe ser capaz de explicar la estructura fina proporcionada por la ecuación de Sommerfeld. Su teoría relativista no concordaba con los experimentos porque carecía de un ingrediente clave: el espín del electrón.

En manuscrito original de su formulación de la mecánica ondulatoria relativista se ha perdido en el mejor de los casos y sólo se dispone de un cuaderno de cálculos en los archivos. Sin embargo, su formulación no relativista sí llegó a la imprenta y se ha convertido en material estándar de los libros de texto de los cursos universitarios de mecánica cuántica.

Referencias:

1. La vida de Erwin Schrödinger (Canto serie original) por Walter J. Moore.

2. Desarrollo histórico de la teoría cuántica Por Jagdish Mehra, Erwin Schrödinger, Helmut Rechenberg.

Answer 4

En primer lugar, la terminología es confusa. La ecuación original de Schrödinger es no relativista, pero la gente suele llamar "ecuación de Schrödinger" a lo que le da la gana, independientemente del Hamiltoniano que utilice, así que, "en su libro", la ecuación de Schrödinger puede ser relativista.

Así que Schrödinger se basó claramente en las ideas relativistas de de Broglie, ¿por qué escribió una ecuación no relativista? En realidad, empezó con una ecuación relativista (que ahora llamamos ecuación de Klein-Gordon), pero no describía correctamente el espectro del hidrógeno (porque no tenía en cuenta el espín), así que Schrödinger no se atrevió a publicarla. Más tarde Schrödinger observó que la versión no relativista (que ahora conocemos como ecuación (original) de Schrödinger) describía correctamente el espectro del hidrógeno (hasta correcciones relativistas:-) ), por lo que publicó su ecuación no relativista.

Si le interesa, intentaré buscar las referencias a los hechos históricos mencionados.

EDICIÓN (21/06/2020): En realidad, he encontrado la referencia: Dirac, Recollections of an Exciting Era//History of Twentieth Century Physics: Actas de la Escuela Internacional de Física "Enrico Fermi". Curso LVII. - Nueva York; Londres: Academic Press, 1977. -P.109-146. Dirac recuerda su conversación con Schrödinger que tuvo lugar en (aproximadamente) 1940.

Answer 5

La ecuación de Schrödinger es no relativista por construcción. Se deduce de la expresión de energía clásica no relativista aplicando la idea de De Broglie para sustituir $(E,\vec p)$ por $-i\hbar (\partial_t, \vec \nabla)$ .