Supongamos que las raíces a $z^4+az^3+bz^2+cz+d=0$ todos tienen la propiedad de que $|z| =2$ .

Question

Sea $a,b,c,d \in \mathbb{C}$ . Supongamos que las raíces a $z^4+az^3+bz^2+cz+d=0$ todos tienen la propiedad de que $|z| =2$ . Queremos demostrar que $\overline{a} = \frac{4c}{d}$ .

Personalmente no tengo ni idea de cómo enfocar este problema. He visto problemas similares que utilizan el mismo polinomio pero plantean preguntas diferentes, como si las raíces tienen partes reales negativas, etcétera. Pero en este caso, estoy completamente perdido sobre cómo empezar. ¿Podemos hacer algo como

$$|z|^4+|a||z|^3+|b||z|^2+|c||z|+d =0$$

$$16+8|a|+4|b|+2c+d=0$$

Pero ni siquiera aquí estoy seguro de cómo proceder. ¿Algún consejo al respecto?

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Actualización: Cada $z=2e^{i\theta}$ y así

$$16e^{i4\theta}+8ae^{i3\theta}+ 4be^{i2 \theta}+2ce^{i \theta}+d = 0$$

Answer 1

Supongamos que $z_1,z_2,z_3,z_4$ son las 4 raíces.
$a=-(z_1+z_2+z_3+z_4)$
$\begin{align} \overline{a} &= -(\overline{z_1}+\overline{z_2}+\overline{z_3}+\overline{z_4})\\ &=-(\frac{|z_1|^2}{z_1}+\frac{|z_2|^2}{z_2}+\frac{|z_3|^2}{z_3}+\frac{|z_4|^2}{z_4})\\ &=-4(\frac{1}{z_1}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{z_3}+\frac{1}{z_4})\\ &=-4\frac{z_1z_2z_3+z_2z_3z_4+\cdots}{z_1z_2z_3z_4}\\ &=\frac{4c}{d} \end{align}$

Answer 2

Ampliando mi comentario, esta es la ecuación original:

$$ z^4+az^3+bz^2+cz+d=0 \tag{1} $$

Tomando el conjugado:

$$ \bar z^4 + \bar a \bar z^3 + \bar b \bar z^2 + \bar c \bar z + \bar d=0 $$

Todas las raíces tienen magnitud $\,2\,$ así que $\,\bar z = \frac{|z|^2}{z} = \frac{4}{z}\,$ después de sustituir y multiplicar por $\,z^4\,$ :

$$ 256 + 64 \bar a z+16\bar b z^2 + 4 \bar c z^3 + \bar d z^4 = 0 \tag{2} $$

Ecuaciones $(1)$ y $(2)$ tienen las mismas raíces, y por lo tanto deben ser idénticas hasta un factor multiplicativo, por lo que los coeficientes deben ser proporcionales:

$$ (1,a,b,c,d) \,\propto\, (\bar d, 4\bar c, 16\bar b, 64\bar a, 256) $$

Esto significa que existe un $\,\lambda \ne 0\,$ tal que $\,1 = \lambda \cdot \bar d\,$ , $\,a = \lambda \cdot 4 \bar c\,$ etc. La primera igualdad implica $\,d \ne 0\,$ dividiendo la segunda igualdad por la primera y tomando los conjugados de ambos lados se obtiene la relación $\,\bar a = \frac{4 c}{d}\,$ que pide la pregunta del OP.