¿Cómo se $\Lambda_{\textrm{QCD}}$ relevantes en el régimen no perturbativo?

Question

El famoso $\Lambda_{\textrm{QCD}}$ entra a través del funcionamiento de un bucle del acoplamiento QCD, a través de una relación similar a la siguiente:

$$\alpha_S(Q^2)=\frac{\alpha_S(Q^2_0)}{1+b\ln(Q^2/Q^2_0)}\equiv\frac{\alpha_S(Q^2_0)}{b\ln(Q^2/\Lambda^2_\textrm{QCD})}$$

Mi pregunta es simple: ¿cómo esta ecuación, y por lo tanto cualquier definición de $\Lambda_{\textrm{QCD}}$ tienen algo que ver con la QCD en régimen no-perturbativo, donde $\alpha_S>1$ ¿y así se rompen estas ecuaciones? Aquí $Q$ es estrictamente sólo una escala de renormalización arbitraria, pero también podría ser una escala de energía en un proceso particular que estemos considerando.

Sé que la anomalía conforme/traza en QCD viene dada be $T^\mu_\mu\sim \beta(\alpha_S)F^2$ donde $\beta(\alpha_S)$ es la función beta. Pero, ¿es éste un resultado para todos los órdenes? (es decir, ¿son todos los órdenes de $\alpha_S$ resumido correctamente en $\beta(\alpha_S)$ ?)

Además, sé que la masa de un estado hadrónico viene dada por la anomalía de traza $\langle P|T|P\rangle\sim M^2$ pero esto no puede significar que $M^2\sim\beta(\alpha_S)$ porque la función beta depende del esquema, mientras que la masa de un hadrón es totalmente física.

Pero ninguno de los dos párrafos anteriores dice nada sobre lo que ocurre cuando $Q\sim\Lambda_{\textrm{QCD}}$ y $\alpha_S\sim 1$ . Si realmente es así como la $\Lambda_{\textrm{QCD}}$ no veo cómo no es un mero artefacto de los logaritmos que aparecen en el régimen perturbativo. Entonces parecería posible que su relevancia desapareciera si calculáramos de algún modo la función beta para todos los bucles.

Answer 1

No pretendo tener una comprensión plena y correcta del problema. El $\Lambda_{QCD}$ es una estimación aproximada de la escala de energía, más allá de la cual la física se acopla fuertemente. Al ser una estimación perturbativa, puede predecir la ruptura de series de perturbaciones, pero los fenómenos exclusivamente no perturbativos, como los instantones, quedan fuera de su alcance.

En cuanto a la anomalía de la traza, se cumple el teorema de no normalización, por lo que esta expresión es exacta, cuando la exacta $\beta$ -se inserta delante de la expresión. He encontrado esta referencia, tal vez le resulte útil sobre el problema en cuestión - https://arxiv.org/abs/1202.1514 . Parece que los resultados se justifican haciendo una analogía con las teorías supersimétricas.

Las estimaciones para $\Lambda_{QCD}$ en la literatura, por lo tanto, varían significativamente : $100-300$ MeV. A menudo se dice que se trata de una escala típica del orden de las masas hadrónicas - $\pi, K$ - mesones.

Answer 2

La respuesta natural a su pregunta la proporciona la QCD de celosía. Al igual que la acción clásica de la QCD (con quarks sin masa), la acción de celosía (Wilson) no tiene parámetros adimensionales, sólo una constante de acoplamiento adimensional $g$ . Las masas de los hadrones se extraen del decaimiento exponencial de las funciones de correlación, por lo que se expresan en unidades del espaciado inverso de la red. Así, un cálculo de celosía da la masa del protón de la forma $$ M_p={\it const}(g)a^{-1} $$ que no puede compararse directamente con el experimento. Comparamos con el experimento tomando el límite del continuo $a\to 0$ . Pero $a$ no es un parámetro en la acción adimensional de Wilson. Así que lo que hacemos en realidad es tomar $g\to 0$ y expresa $a$ en función de $g$ utilizando la función beta. Esto aporta $\Lambda_{QCD}$ en el juego, porque $$ a\Lambda_{QCD} = \exp(-1/(2b_0g^2)) $$ (hasta correcciones de bucle superior, que son relevantes $a$ no es muy pequeño). Esto fija la forma funcional de ${\it const(g)}$ y permite a la red determinar $$ M_p = c_p \Lambda_{QCD} $$ donde $c_p$ es una constante numérica que puede determinarse mediante simulaciones Monte Carlo. Esto es, por supuesto, lo que llamamos transmutación dimensional. Reemplazamos una constante adimensional, $g$ por uno dimensionado, $\Lambda_{QCD}$ .

P.D.: Obsérvese que esto no contradice la afirmación de que $\Lambda_{QCD}$ depende del sistema. Puedo extraer $\Lambda_{QCD}$ del experimento (por ejemplo, el cociente R) utilizando un esquema determinado, por ejemplo $\bar{MS}$ . Entonces puedo hacer un cálculo controlado, perturbativo, para relacionar $\Lambda_{\bar{MS}}$ a $\Lambda_{lat}$ el parámetro Lambda para el regulador reticular de Wilson. Tras calcular $c_p$ en la red puedo predecir, dada la relación R medida, la masa del protón.

P.P.S.: Mi punto en esta discusión es argumentar que no hay nuevas escalas en el infrarrojo, más allá de la escala $\Lambda_{QCD}$ que se genera en el UV. En concreto, puedo tomar la medida $\alpha_s(M_Z)$ (o el coeficiente R, etc.) y predecir (utilizando la red) todas las cantidades no-perturbativas, incluyendo la tensión de la cuerda, la masa del protón, etc.

Es cierto que en la práctica (por conveniencia computacional) la mayoría de los cálculos reticulares fijan el espaciado reticular computando un observable físico, como por ejemplo $f_\pi$ o la tensión de la cuerda. Sin embargo, aún tienen que comprobar que el límite del continuo es correcto. En concreto, tienen que demostrar que a medida que $a\to 0$ el acoplamiento llega a cero como dicta la función beta. Esto es, en efecto, lo que muestran Bali y Schilling. Nótese que Bali y Schilling también muestran que puedo tomar la medida $\alpha_s(M_Z)$ y calcular la tensión de la cuerda (o al revés). Por último, Bali y Schilling utilizan el hecho de que la relación ship entre $\Lambda_{\bar{MS}}$ y $\Lambda_{lat}$ es perturbativo, y puede determinarse analíticamente (como demuestra Dashen y Gross ).