Demuestre que si $p$ es un número primo $> 3$ entonces $24 \mid p^2-1$

Question

Hola chicos ¿alguien me puede ayudar con esto?(Sin usar aritmética Modular)

Demuestre que si $p$ es un número primo $>3$ entonces $24$ $\mid$ $p^2-1$

Answer 1

Sin utilizar (explícitamente) la aritmética modular:

$p^2-1=(p+1)(p-1)$ . Desde $p$ es impar, se trata de un producto de dos números pares que difieren en dos, por lo que uno de ellos es de hecho divisible por cuatro, y su producto es divisible por 8.

Ahora, $p-1$ , $p$ y $p+1$ son tres números consecutivos, por lo que 3 divide a uno de ellos. $p$ es primo, así que no es divisible por tres. Por lo tanto, 3 ciertamente divide $p^2-1=(p-1)(p+1)$ .

Concluimos que como tanto 3 como 8 dividen $p^2-1$ también lo hace 24 (utilizando el hecho de que 3 y 8 son coprimos).

Answer 2

Si $p$ es un primo mayor que $3$ que es igual a $1, 3, 5, 7$ $\pmod 8$

Esto implica $p^2 \equiv 1 \pmod 8$ (porque $1^2 \equiv 1$ , $3^2 \equiv 1, 5^2 \equiv 1, 7^2 \equiv 1 \pmod 8$ )

También, $p \equiv 1, 2 \pmod 3 \Rightarrow p^2 \equiv 1 \pmod 3$

Esto implica que $p^2 - 1 $ es divisible por $8$ y $3$ por lo que es divisible por $24$

Answer 3

Si el primo es mayor que 3 entonces es de la forma $3m+1$ ou $3m+2$ y en ambos casos $p^2-1$ es divisible por 3. Los primos por encima de tres son Impares. Así que al elevarlos al cuadrado dejan un resto 1 cuando se dividen por 8. Por lo tanto $p^2-1$ es divisible por 8. Entonces $p^2-1$ es divisible por 24.

Answer 4

Sabemos que cualquier número primo $>3$ puede escribirse como $6n\pm1$ . Ergo $$p^2-1=(6n\pm1)^2-1=36n^2\pm12n+1-1=36n^2\pm12n=12n(3n\pm1)$$ Ahora tenga en cuenta que uno entre $n$ y $3n\pm1$ debe ser divisible por $2 \Rightarrow$ $$p^2-1 = 12n(3n\pm1) \text{ is divisble by $ 12\cdot 2=24 $}$$