El efecto Aharonov-Bohm se refiere a los campos electromagnéticos, donde una partícula cuántica puede sentir el efecto de un campo electromagnético en regiones donde éste desaparece, a través del potencial electromagnético 4-vector $A_\mu$ .
¿Cuál es el análogo de esto en el caso de los campos gauge generales? También me gustaría saber cuál es el análogo de esto para el caso del campo gravitatorio (partícula cuántica en un campo gravitatorio clásico, gobernado por la ecuación de Einstein).
En el caso EM, el efecto Aharonov-Bohm puede deducirse así. El lagrangiano para una partícula cargada no relativista es $$ L\sim \dot{\mathbf{x}}^2/2+\dot{\mathbf{x}}\cdot\mathbf{A}, \tag{1} $$ donde el campo gauge $\mathbf{A}$ está relacionado con el campo magnético $\mathbf{B}$ por $$ \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}. \tag{2} $$ El uso de (1) en la formulación integral de la trayectoria muestra que la diferencia de fase entre dos trayectorias es sensible a $\oint d\mathbf{x}\cdot\mathbf{A}$ donde la integral es alrededor del bucle formado por las dos trayectorias. Esto se manifiesta a través del factor $$ \exp\left(i\oint d\mathbf{x}\cdot\mathbf{A}\right). \tag{3} $$ Para reducir el desorden, he absorbido un coeficiente en la normalización de $\mathbf{A}$ . La integral $\oint d\mathbf{x}\cdot\mathbf{A}$ es igual al flujo magnético encerrado por la espira, por lo que la fase del número complejo (3) puede ser distinta de cero incluso si es invariante bajo deformaciones locales de la espira, es decir, incluso si el campo magnético es cero en todas partes a lo largo de la espira. Esto da lugar al efecto Aharonov-Bohm.
La derivación revisada anteriormente trata el campo EM como un campo clásico (no cuántico), lo que suele ser una buena aproximación. En el caso no abeliano, no es una buena aproximación. Incluso en el modelo más simple, con sólo el campo gauge y sin materia ("teoría de Yang-Mills"), los efectos cuánticos conducen a un espectro de sólo partículas masivas ("glueballs") que interactúan entre sí sólo a través de fuerzas de corto alcance, completamente distinto de la versión clásica del modelo. La búsqueda inacabada para entender por qué ocurre esto se revisa desde la perspectiva de un experto en El problema del confinamiento en la teoría gauge reticular .
Aun así, como ejercicio matemático, podemos considerar un análogo del efecto Aharonov-Bohm utilizando un campo gauge clásico no abeliano. En el caso no abeliano, la cantidad (3) no es invariante gauge, porque $\mathbf{A}$ se transforma de forma no homogénea bajo transformaciones gauge. Una generalización invariante gauge es la Lazo Wilson . Para definirlo, tomemos cualquier camino cerrado $C$ y subdividirlo en segmentos infinitesimales $S$ . El bucle de Wilson es $^\dagger$ $$ W(C) = \text{trace}\left( P\prod_S\exp\left(i\int_S d\mathbf{x}\cdot\mathbf{A}\right)\right), \tag{4} $$ donde la traza se define en una representación matricial y donde el símbolo $P$ significa ordenado por rutas : los factores del producto se multiplican en el mismo orden que los segmentos alrededor de la trayectoria. El bucle de Wilson (4) es la generalización no abeliana de (3), y tiene la misma propiedad de Aharonov-Bohm: la fase del número complejo (4) puede ser distinta de cero aunque sea invariante bajo deformaciones locales de $C$ .
$^\dagger$ Esta forma de describir un bucle de Wilson parece poco natural porque intenta expresar elementos del grupo de Lie en términos de elementos $A_\mu$ del álgebra de Lie. Una formulación más satisfactoria describe el campo gauge como un mapa (con propiedades especiales) de curvas en el espaciotiempo a elementos del grupo de Lie, y entonces $A_\mu$ y la derivada covariante surgen naturalmente al considerar extensiones o retracciones infinitesimales de una curva en uno de sus extremos.
Ahora bien, ¿cuál es la generalización no abeliana de (1)? Una generalización no abeliana de (1) se inventa en este documento pero usaré un enfoque diferente. El modelo (1) pretende ser una aproximación a la electrodinámica cuántica (QED). En QED, el término de interacción tiene la forma $$ \overline\psi\gamma^\mu A_\mu\psi = J^\mu A_\mu \tag{5} $$ donde $\psi$ es el valor de un espinor de Dirac de operadores de campo de fermiones, $\gamma^\mu$ son matrices de Dirac, y $A_\mu$ es el campo gauge. La combinación $J^\mu=\overline\psi\gamma^\mu \psi$ es la corriente eléctrica. Esto se asemeja al término de interacción $\dot{\mathbf{x}}\cdot\mathbf{A}$ en el modelo no relativista (1). En la generalización no abeliana, $A_\mu$ es una matriz con componentes $(A_\mu)^{ab}$ y el espinor $\psi$ también lleva un índice de "color" para que el término de interacción sea $$ \sum_{a,b}\overline\psi^a\gamma^\mu (A_\mu)^{ab}\psi^b = \sum_{a,b}(J^\mu)^{ab} (A_\mu)^{ab} \tag{6} $$ con la corriente $(J^\mu)^{ab}=\overline\psi^a\gamma^\mu \psi^b$ . La similitud entre (5) y (6), combinada con la restricción de la invariancia gauge, sugiere que el caso no abeliano debería mostrar un efecto tipo Aharonov-Bohm con el bucle de Wilson (4) en lugar de (3). Esto no es una prueba, pero la analogía es clara.
Si se busca en Internet "gravitational Aharonov Bohm" se encuentran varios artículos, entre ellos esta propuesta para un experimento. Sin embargo, las analogías no son perfectas. En el lenguaje de la teoría de perturbaciones, el campo gravitatorio tiene espín 2, mientras que los campos gauge considerados anteriormente tienen espín 1, y esa diferencia hace que cualquier analogía sea imperfecta. Destacaré una analogía imperfecta.
¿Qué deberíamos utilizar como análogo gravitatorio de una región en la que el campo magnético es nulo? Una analogía podría ser una región donde el espaciotiempo es plano, es decir, donde el tensor de curvatura de Riemann es cero. Pero, ¿qué disposición de la materia podría crear una situación en la que la curvatura del espaciotiempo fuera distinta de cero dentro de una región delimitada y nula fuera de ella?
Es sorprendentemente fácil, si utilizamos la misma idealización que utilizamos implícitamente en el caso EM. Recordemos que en el caso EM, para que el campo fuera del solenoide sea estrictamente cero, el solenoide tiene que ser infinitamente largo. Matemáticamente, si el solenoide es infinitamente largo, podríamos descartar esa dimensión del espacio y trabajar en el espacio 2d. El análogo de esto en relatividad general es trabajar en un espaciotiempo de 2+1 dimensiones, y esta versión de la RG tiene una propiedad notable: ¡cualquier región vacía del espaciotiempo es siempre automáticamente plana! (Estoy suponiendo una constante cosmológica nula).
Más concretamente, el espacio vacío es localmente plana, pero la relación circunferencia-radio de un bucle puede verse afectada por cualquier materia que rodee. Esto es más fácil de visualizar cuando la masa central se concentra en un punto, lo que da un singularidad cónica . En este caso, el espacio 2d puede visualizarse como un cono. La superficie del cono tiene una curvatura intrínseca nula (porque podemos construir un cono a partir de un trozo de papel plano sin arrugarlo), pero un círculo centrado en el vértice tiene una relación circunferencia-radio menor que $2\pi$ . La relación depende de la cantidad de masa concentrada en el centro.
Eso suena parecido a la situación Aharonov-Bohm, pero una masa puntual no giratoria es el análogo gravitatorio de una carga puntual no giratoria en electrodinámica. Queremos un análogo gravitatorio de una magnético campo, no de un eléctrico campo. Dado que una carga en rotación crea un campo magnético, podemos intentar mejorar la analogía considerando una masa en rotación. Pero entonces ocurre algo extraño: ¡el espaciotiempo fuera de una masa puntual en rotación admite curvas cerradas en el tiempo! Para más información, véase Gravitación frente a rotación en 2+1 dimensiones .
En Respuesta de knzhou .
Puesto que ya has recibido una buena respuesta a la pregunta completa, me limitaré a añadir un poco más de detalle sobre el análogo del efecto Aharanov-Bohm para la gravedad. Como se señala en la respuesta existente y en otro lugar cualquier analogía entre la gravedad y la teoría gauge no puede ser perfecta porque el gravitón tiene espín $2$ .
Por otro lado, no necesitamos una analogía perfecta si sólo queremos un análogo del efecto Aharanov-Bohm, ya que las configuraciones estándar para él (y sus parientes, como el efecto Aharanov-Casher efecto) implican equipos experimentales que rompen la invariancia de Lorentz. Después de todo, ¡nunca se analizaría este efecto en un marco en el que el solenoide estuviera en movimiento! Si no nos molestamos en mantener la invariancia manifiesta de Lorentz, somos libres de masacrar la gravedad hasta que adopte la forma que queramos.
En el límite newtoniano estándar de la relatividad general, la métrica se reduce a $$ds^2 = - (1 - 2 \Phi) \, dt^2 + (1 + 2 \Phi) \delta_{ij} \, dx^i dx^j$$ donde $\Phi$ es el potencial newtoniano, y es originado por la materia de la manera estándar, $$\Phi(x) = \int d \mathbf{x}' \, \frac{\rho(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x} - \mathbf{x}'|}.$$ La acción de una partícula es $$S = - m \int \sqrt{-g_{\mu\nu} u^\mu u^\nu} \, d\tau$$ donde $u^\mu$ es la cuádruple velocidad. En el límite no relativista $u^\mu \approx (1, \mathbf{v})$ se convierte en $$S \approx - m \int \sqrt{1 - 2 \Phi - (1 + 2 \Phi) v^2} \, dt \approx \int \frac{mv^2}{2} (1 + 2 \Phi) - m(1+\Phi) \, dt.$$ Descuidar la $\Phi v^2$ como pequeño, ya que ambos $\Phi$ y $v^2$ es un Lagrangiano estándar "cinético menos potencial", donde la masa-energía $m$ y la energía potencial gravitatoria $m \Phi$ se cuentan en el potencial. Por lo tanto, un objeto capta un desfase gravitatorio adicional de $$\Delta \phi = - \frac{m}{\hbar} \int \Phi \, dt.$$ Este desfase se suele medir mediante interferometría atómica .
¿Se trata del efecto gravitatorio Aharanov-Bohm? Según este documento lo es. Al fin y al cabo, se trata de una fase que se puede medir por interferometría, que se acumula incluso cuando el campo gravitatorio en las propias partículas desaparece. Por otra parte, el desplazamiento de fase no tiene la $\mathbf{A} \cdot \mathbf{v}$ por lo que depende de la velocidad a la que recorremos un camino, mientras que el efecto Aharanov-Bohm habitual no lo hace. No tiene el mismo sabor "geométrico".
Para acercarnos más, podemos retroceder y hacer una aproximación menos burda. En la aproximación de campo débil a la relatividad general, donde $g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}$ el campo $h_{\mu\nu}$ procede de la materia como $$\bar{h}_{\mu\nu}(\mathbf{x}) = 4 \int d\mathbf{x}' \, \frac{T_{\mu\nu}(t_{\text{ret}}, \mathbf{x}')}{|\mathbf{x} - \mathbf{x}'|}$$ donde hemos definido la inversión de la traza $\bar{h}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \eta_{\mu\nu} h / 2$ y establece $c = G = 1$ . Ahora bien, esto se parece bastante a cómo se origina el potencial vectorial por una corriente, $$A_\mu(\mathbf{x}) = \int d\mathbf{x}' \, \frac{J_{\mu}(t_{\text{ret}}, \mathbf{x}')}{|\mathbf{x} - \mathbf{x}'|}$$ pero tenemos un índice tensorial extra. Ahora podemos abandonar la invariancia de Lorentz para ir más lejos. Nótese que para materia fuente no relativista con velocidad típica $u$ los componentes del tensor de energía de tensión son $$T_{00} \sim O(1), \quad T_{0i} \sim T_{i0} \sim O(u), \quad T_{ij} \sim O(u^2).$$ Así que en el límite no relativista, podríamos optar por despreciar la $T_{ij}$ (y por tanto el $\bar{h}_{ij}$ ) por completo. Entonces, dado que el tensor tensión-energía es simétrico, $T_{i0}$ es redundante con $T_{0i}$ por lo que sólo tenemos que seguir la pista de los elementos $T_{0\mu}$ . Es el mismo número de grados de libertad que un cuatro vector.
Al ampliar $\bar{h}_{ij}$ al orden principal en $u$ obtenemos la métrica ligeramente más general $$ds^2 = - (1 - 2 \Phi) \, dt^2 + 2 (\mathbf{A} \cdot d \mathbf{x}) \, dt + ( 1 + 2 \Phi) \, \delta_{ij} dx^i dx^j$$ donde $A_\mu = (\Phi, \mathbf{A})$ es el cuatro potencial gravitoelectromagnético (GEM), y $$A_0 = \Phi = \int d\mathbf{x}' \, \frac{T_{00}(t_{\text{ret}}, \mathbf{x}')}{|\mathbf{x} - \mathbf{x}'|}, \quad A_i = \int d\mathbf{x}' \, \frac{T_{0i}(t_{\text{ret}}, \mathbf{x}')}{|\mathbf{x} - \mathbf{x}'|}.$$ Eso es, $T_{0\mu}$ fuentes $A_\mu$ igual que $J_\mu$ fuentes $A_\mu$ en electromagnetismo. Por supuesto, la analogía no es perfecta porque $T_{0\mu}$ no es un cuatro vector, por lo que nuestro $A_\mu$ no tiene buenas propiedades de transformación de Lorentz, pero la materia fuente no relativista ya elige un marco preferido de todos modos.
Para una partícula de prueba que se mueve lentamente, un análisis similar al del límite newtoniano da como resultado $$S \approx \int \frac{mv^2}{2} - m(1+\Phi) + m \mathbf{v} \cdot \mathbf{A} \, dt$$ donde estamos trabajando a orden cuadrático en $u$ y la velocidad $v$ de la partícula de prueba. El acoplamiento a $\mathbf{A}$ se parece al acoplamiento al potencial vectorial magnético, lo que implica que la fuerza sobre la partícula obedece a la ley de fuerza de Lorentz habitual, pero con carga $m$ y los campos "gravitoeléctrico" y "gravitomagnético", que se definen en términos de $\mathbf{A}$ como en el electromagnetismo. Para más información sobre esta idea, que se utiliza para analizar experimentos de relatividad de precisión como Gravity Probe B, véase aquí .
Por último, el desfase debido a rodear un flujo gravitomagnético es $$\Delta \phi = \frac{m}{\hbar} \int \mathbf{v} \cdot \mathbf{A} \, dt = \frac{m}{\hbar} \int \mathbf{A} \cdot d \mathbf{x} = \frac{m \Phi_B}{\hbar}.$$ Desde $\mathbf{E}$ y $\mathbf{B}$ se definen de forma análoga al electromagnetismo, $\mathbf{B}$ obedece a la ley de Biot-Savart con densidad de corriente $T_{0i}$ que es la densidad de momento. Es decir, el análogo gravitatorio de un solenoide es un cilindro giratorio. En un lenguaje más geométrico, en el que no hubiéramos eliminado la invariancia de Lorentz, esto se describiría como un efecto de "arrastre del marco". (Explícitamente, el flujo magnético a través de un solenoide cilíndrico es $\mu_0 A J$ donde $A$ es la superficie y $J$ es la densidad de corriente. El cálculo del flujo gravitomagnético es idéntico, salvo que $J$ se sustituye por $\sigma v$ el producto de la densidad de masa superficial y la velocidad del cilindro).
Entonces, ¿es este ¿el efecto gravitatorio Aharanov-Bohm? De nuevo, la analogía es decente, pero no perfecta. En el límite no relativista, el desfase es idéntico al del efecto Aharanov-Bohm ordinario. Y el campo gravitomagnético desaparece fuera del cilindro. Pero hay un inconveniente: el campo gravitoeléctrico (es decir, el campo gravitatorio ordinario) no desaparece fuera del cilindro, mientras que el campo eléctrico fuera de un solenoide sí lo hace. Esta deficiencia se debe a que no hay cargas gravitatorias negativas, por lo que nuestro solenoide gravitatorio es como un solenoide normal si los electrones giraran sin protones compensadores. Como todo lo demás, en última instancia puede remontarse al hecho de que el gravitón tiene espín $2$ en lugar de $1$ ya que las fuerzas mediadas por espines pares son universalmente atractivas. (Por si sirve de algo, en última instancia esto también se vuelve en contra del electromagnetismo: el hecho de que las cargas puedan anularse, dejando sólo corrientes, implica que tiene dos límites no relativistas distintos .)
En resumen, aunque no hay analogías perfectas con el efecto Aharanov-Bohm, existen al menos dos aproximadas. El primero se mide en experimentos reales; el segundo surge de un formalismo utilizado para analizar otros experimentos reales. ¿Sería posible algún día medir el desfase gravitomagnético mediante interferometría atómica? Ahora parece muy difícil, ya que está penalizado por un factor $u$ de la velocidad de la materia prima, pero ¡quién sabe en el futuro!
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