Utilizando la ley de Gauss cuando las cargas puntuales se encuentran exactamente sobre la superficie gaussiana

Question

Supongamos que colocas una carga puntual $+Q$ en la esquina de un cubo imaginario.

Como las líneas de campo eléctrico son radiales, no hay flujo a través de las tres caras adyacentes (adyacentes a la carga) del cubo. Sin embargo, hay una cierta cantidad de flujo que pasa a través de los otros tres lados del cubo (que fluye fuera del cubo).

Podemos estimar que el flujo a través de estas tres superficies combinadas es igual a $Q/(8\epsilon)$ . Como, si se considera $7$ otros cubos que tienen la carga en la esquina, cada uno de ellos tendría igual flujo que fluye hacia fuera por simetría y puesto que el flujo total a través de la $8$ cubos es $Q/\epsilon$ cada cubo tendría un flujo de $Q/(8\epsilon)$ .

Apliquemos ahora la ley de Gauss al cubo, y encontraremos que el cubo encierra una carga de $Q/8$ .

Esto significa que 1/8 de la carga pertenece a este cubo.

Pero la carga que colocamos era una carga puntual sin dimensiones. No se puede dividir en partes.

¿Qué ocurre?

Answer 1

La ley de Gauss se aplica a situaciones en las que hay carga contenida en una superficie, pero no cubre situaciones en las que hay una cantidad finita de carga realmente en la superficie - en otras palabras, donde la densidad de carga tiene una singularidad en un punto que se encuentra en la superficie. Para ello, se necesita la " Teorema de Gauss generalizado " [PDF], que se publicó en 2011 en las actas del congreso de la Electrostatics Society of America. (Me enteré de este artículo por Wikipedia .)

El Teorema de Gauss Generalizado publicado en ese documento dice que $$\iint_S \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{A} = \frac{1}{\epsilon_0}\biggl(Q_{\text{enc}} + \frac{1}{2}Q_{\text{con}} + \sum_{i}\frac{\Omega_i}{4\pi}q_{i}\biggr)$$ donde

• $Q_{\text{enc}}$ es la cantidad de carga totalmente encerrada por la superficie $S$ y no se encuentra en $S$
• $Q_{\text{con}}$ es la cantidad de carga que se encuentra en la superficie $S$ en los puntos donde $S$ es suave
• $q_i$ para cada $i$ representa una carga puntual situada en $S$ en un punto donde $S$ no es lisa (es decir, en una esquina), y $\Omega_i$ representa la cantidad de ángulo sólido alrededor de esa carga puntual que se dirige a la región delimitada por $S$ .

Hay algunos casos extremos (jaja) que no se tratan con esta formulación (aunque debería ser sencillo modificar el argumento del artículo para cubrirlos), pero afortunadamente sí cubre el caso por el que preguntas, en el que una carga puntual está situada en una esquina de un cubo. En ese caso, la cantidad de ángulo sólido alrededor de la esquina que se dirige hacia el interior del cubo es $\Omega_0 = \frac{\pi}{2}$ . Enchufando eso junto con $q_0 = Q$ (la magnitud de la carga), se encuentra que $$\iint_S \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{A} = \frac{1}{\epsilon_0}\biggl(0 + \frac{1}{2}(0) + \frac{\pi/2}{4\pi}(Q)\biggr) = \frac{Q}{8\epsilon_0}$$ lo que concuerda con lo que has encontrado intuitivamente.

Answer 2

¿Cómo se define una carga puntual? Añadamos un poco de formalidad: Consideremos una carga esférica de radio $r$ centrada en el vértice del cubo, con densidad de carga uniforme $\rho_v=\frac{3Q}{4\pi r^2}$ (para que la carga total sea $Q$ y el campo eléctrico es el mismo que el de una carga puntual a una distancia $d > r$ ). Podemos definir nuestra carga puntual como el límite de esta carga esférica como $r\rightarrow 0$ . La cantidad de carga encerrada por el cubo para cualquier $r>0$ lo es, por el mismo argumento de simetría que usaste, $Q/8$ . por lo que la carga "encerrada" a todos los efectos de la ley de Gauss es: $$Q_{enc} = \lim_{r\rightarrow 0}{\frac{Q}{8}} = \frac{Q}{8}$$ Ahora bien, ¿por qué utilizar una esfera para el límite y no otra forma que podría dar un resultado diferente? Porque sólo una esfera uniforme puede reproducir el campo eléctrico de una carga unitaria en todo el espacio exterior a su cuerpo, independientemente de su tamaño (radio), y converger así a una carga unitaria en el límite a todos los efectos eléctricos.

Answer 3

La ley de Gauss dice que el flujo neto a través de una superficie cerrada es igual a la carga neta encerrada por la superficie dividida por la permitividad eléctrica del espacio.

No veo cómo una carga puntual en la esquina de un cubo puede considerarse encerrada por las superficies del cubo. La ley de Gauss se aplica a una superficie cerrada. El cubo menos tres superficies no constituye una superficie cerrada. Además, como señala @ZeroTheHero, no tiene sentido dividir una carga que no tiene dimensiones en un octavo.

En resumen, no veo la paradoja de la ley de Gauss.

Espero que esto ayude

Answer 4

La ley de Gauss requiere que las cargas encerradas estén completamente encerradas dentro del volumen que estás considerando (es decir, la carga debe estar contenida en un subconjunto abierto en la topología habitual de $\mathbb{R}^3$ que está totalmente dentro del dominio compacto considerado). Si no es así, se puede argumentar utilizando consideraciones de simetría. Por ejemplo, si la carga se encuentra en el límite de una superficie lisa, se obtendría la mitad de la contribución del ángulo sólido porque es mitad interior/mitad exterior, etc. Para un argumento adecuado, imagine una carga en el límite de un volumen liso, a continuación, reflejar el volumen sobre el plano tangente y considerar el límite de una superficie que encierra la unión de estos dos volúmenes desde el exterior ... por simetría tendríamos $Q/\epsilon_0$ flujo para ambos y $Q/2\epsilon_0$ a través de cada uno.

El teorema de la divergencia generalizada en la respuesta de @DavidZ parece haber generalizado esto. No conocía el resultado generalizado, pero ahora es fácil imaginar que se aplicaría a $4\pi/N$ ángulo sólido, si $N$ es un número entero - basta con cubrir el $4\pi$ ángulo sólido con $N$ de estos volúmenes....de aquí se puede extender a fracciones racionales de $4\pi$ ...y luego por continuidad a todos los ángulos sólidos arbitrarios.

En tu caso, puedes imaginar encerrar la carga central dentro de 8 cubos simétricos unidos en el vértice donde reside la carga puntual....entonces obtendrías $Q/\epsilon_0$ flujo a través de todos ellos y $Q/8\epsilon_0$ a través de cada uno de ellos por simetría.