cómo demostrar $|e^{i \langle u,x \rangle}-e^{i \langle u,y \rangle }|<|u|\cdot|x-y|$ ?

Question

Estoy leyendo "Stochasticc Differential Equations" de Bernt Oksendal y este es uno de los resultados que no veo la prueba.

Esto es del Apéndice A, página 309 (sexta edición): $$\large \lvert e^{i \langle u,x \rangle}-e^{i \langle u,y \rangle}\rvert < \lvert u \rvert \cdot \lvert x-y\rvert$$ Aquí $u,x,y\in \mathbb{R}^n$ , $i\in \mathbb{C}$ es la unidad imaginaria y $\langle u,x\rangle =u_1x_1+\cdots+u_nx_n$ .

Answer 1

Al observar que $h(t)=\exp(\mathrm i\langle u,(1-t)x+ty\rangle)$ es tal que $h(0)=\mathrm e^{\mathrm i\langle u,x\rangle}$ , $h(1)=\mathrm e^{\mathrm i\langle u,y\rangle}$ y, para cada $t$ en $[0,1]$ , $|h(t)|=1$ y $h'(t)=\mathrm i\cdot\langle u,y-x\rangle\cdot h(t)$ . Así, $|h'(t)|=|\langle u,y-x\rangle|$ para cada $t$ en $[0,1]$ .

Por el teorema del valor medio para funciones de varias variables, $|h(1)-h(0)|\leqslant|\langle u,y-x\rangle|$ . Desde $|h(1)-h(0)|=|\mathrm e^{\mathrm i\langle u,y\rangle}-\mathrm e^{\mathrm i\langle u,x\rangle}|$ y, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, $|\langle u,y-x\rangle|\leqslant\|u\|\cdot\|x-y\|$ hemos terminado.

Answer 2

$${{\rm d}{\rm e}^{{\rm i}\mu\left\langle u, x - y\right\rangle} \over {\rm d}\mu} = {\rm i}\left\langle u, x - y\right\rangle {\rm e}^{{\rm i}\mu\left\langle u, x - y\right\rangle}$$

$${\rm e}^{{\rm i}\mu\left\langle u, x - y\right\rangle} - 1 = {\rm i}\left\langle u, x - y\right\rangle \int_{0}^{1}{\rm e}^{{\rm i}\mu'\left\langle u, x - y\right\rangle}\,{\rm d}\mu'$$

$${\rm e}^{{\rm i}\mu\left\langle u, x\right\rangle} - {\rm e}^{{\rm i}\mu\left\langle u,y\right\rangle} = {\rm i}\left\langle u, x - y\right\rangle {\rm e}^{{\rm i}\mu\left\langle u,y\right\rangle} \int_{0}^{1}{\rm e}^{{\rm i}\mu'\left\langle u, x - y\right\rangle}\,{\rm d}\mu'$$

$$\color{#ff0000}{\large% \left\vert{\rm e}^{{\rm i}\mu\left\langle u, x\right\rangle} - {\rm e}^{{\rm i}\mu\left\langle u,y\right\rangle}\right\vert} = \left\vert\left\langle u, x - y\right\rangle\right\vert \left\vert \int_{0}^{1}{\rm e}^{{\rm i}\mu'\left\langle u, x - y\right\rangle}\,{\rm d}\mu' \right\vert \color{#ff0000}{\large% \leq \left\vert u\right\vert\left\vert x - y\right\vert}$$

Answer 3

En $\left|{d\over dt}e^{it}\right|=1$ de verdad $t$ se deduce que $$\left|e^{i\langle u,x\rangle}-e^{i\langle v,x\rangle}\right|\leq \left|\langle u,x\rangle-\langle u,y\rangle\right|\leq|u|\ |x-y|\ .$$

Answer 4

Una forma sería utilizar la integración de rutas complejas: $$\left|e^{i\langle u,x\rangle}-e^{i\langle u,y\rangle}\right| = \left|\int_\gamma e^{z}dz\right|,$$ donde $\gamma:[0,1]\to\mathbb{C}$ se define $\gamma(t) = (1-t)i\langle u,y\rangle + ti\langle u,x\rangle$ .

Para evaluar esta integral, basta con observar $$\left|\int_\gamma e^{z}dz\right| = \left|\int_0^1 e^{i((1-t)\langle u,y\rangle + t\langle u,x\rangle)}i\langle u,x-y\rangle dt\right| \leq \int_0^1 |\langle u,x-y\rangle|dt =\\ = |\langle u,x-y\rangle| \leq \|u\|\|x-y\|.$$ Se puede lograr una desigualdad estricta observando que el integrando no tiene un ángulo constante.

Answer 5

¿No funcionará?

En primer lugar, tenga en cuenta que tomar $x = y$ muestra que la desigualdad no puede ser estricta. Lo que se busca es

$\vert e^{i\langle u, y \rangle} - e^{i\langle u, x \rangle} \vert \le \vert u \vert \vert y - x \vert. \tag{0}$

Dicho esto, utilice

$e^{i\langle u, x \rangle} = \cos \langle u, x \rangle + i \sin \langle u, x \rangle \tag{1}$

y tomar el gradiente:

$\nabla e^{i\langle u, x \rangle} = \nabla (\cos \langle u, x \rangle + i \sin \langle u, x \rangle) = (-\sin \langle u, x \rangle + i\cos \langle u, x \rangle)u, \tag{2}$

entonces escribe la integral de línea a lo largo de la trayectoria $\gamma:[0, 1] \to \Bbb R^n$ , $\gamma(s) = (1 - s)x + sy$ de modo que $\gamma(0) = x$ y $\gamma(1) = y$ señalando que $\gamma'(s) = y - x$ para todos $s \in [0, 1]$ :

$e^{i\langle u, y \rangle} - e^{i\langle u, x \rangle} = \int_0^1 \nabla e^{i\langle u, \gamma(s) \rangle} \cdot \gamma'(s)ds = \int_0^1 \nabla e^{i\langle u, \gamma(s) \rangle} \cdot (y - x)ds, \tag{3}$

y tomar la norma de ambas partes:

$\vert e^{i\langle u, y \rangle} - e^{i\langle u, x \rangle} \vert = \vert \int_0^1 \nabla e^{i\langle u, \gamma(s) \rangle} \cdot (y - x)ds \vert \le \vert y - x \vert \, \vert \int_0^1 \nabla e^{i\langle u, \gamma(s) \rangle}ds \vert$ $\le \vert y - x \vert \, \int_0^1 \vert\nabla e^{i\langle u, \gamma(s) \rangle}\vert ds \le \vert u \vert \vert y - x \vert, \tag{4}$

en virtud de (2), que se ve fácilmente que implica

$\vert \nabla e^{i\langle u, x \rangle} \vert = \vert (-\sin \langle u, x \rangle + i\cos \langle u, x \rangle)u \vert = \vert u \vert. \tag{5}$

Salud, y

Fiat Lux