Ampliación de dominios integrales

Question

Sea $S\subset R$ sea una extensión de dominios integrales. Si el ideal $(S:R)=\{s\in S\mid sR\subseteq S\}$ está finitamente generada, demuéstrese que $R$ es integral sobre $S$ .

Mi primer intento fue demostrar que $R$ está finitamente generada como $S$ -módulo, entonces la extensión es inmediatamente integral. Pero, ¿es siempre así? Estoy teniendo algunos problemas para averiguar cómo mostrar esto. Además, no veo dónde podría entrar en juego el hecho de que sean dominios integrales.

Answer 1

Pista. La afirmación se deduce del truco del determinante estándar.