REVISADO $^1$ - Pedido: Aritmética modular

Question

Literatura relevante:

Pregunta:

Observe que $2^{10}=10241 \pmod{25}$ Encontrar el orden de $2$ modulo $25$ .

Pensamientos:

Las respuestas directas están bien, pero me gustaría saber si estoy en lo cierto en que lo que realmente busco es esto: $$\inf\left\{\frac{2^x-2}{25}~:~x\in \mathbb{N}\setminus \{0\}\right\}$$

EDITAR $^1$ :

Lo que quise decir es que estoy tratando de encontrar el más pequeño tal $x$ para que $2^{10}+25k+2=2^x$ donde $k\in \mathbb{Z}$ . ¿Cómo lo escribo en $\inf$ ¿condiciones?

EDITAR $^2$ :

¿Estoy en lo cierto al pensar que yo también podría verlo así?

$$ \inf{\{\log_2(2^{10}+25x+2)~:~x\in \mathbb{Z}\}} $$

Answer 1

Pista: La orden es $\le 20$ ya que $2^{20}\equiv (-1)^2\pmod{25}$ . Y la orden divide $20$ pero no divide $10$ . Eso no deja muchas posibilidades que descartar.