He derivado formalmente una solución a una EDP como una serie de potencias
$$u = \sum_{n=0}^\infty \epsilon^n u_n.$$
Me gustaría demostrar que el radio de convergencia para es $\mathbb{R}$ . Supongo que la forma más fácil de hacerlo es mostrar
$$\lim_{n \to \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right| = 0.$$
La dificultad para demostrarlo es que el $u_n$ son de la forma
$$u_n = \int_\mathbb{R} f_n(x) dx.$$
Hasta ahora, mi mejor estrategia es introducir
$$g_{n+1} := \frac{f_{n+1}}{f_n}$$
para que
$$\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|^2 = \frac{| \int g_{n+1}f_n dx |^2}{|\int f_n dx|^2} \leq \frac{\int | g_{n+1} |^2 dx \cdot \int | f_n |^2 dx}{|\int f_n dx|^2}$$
y
\begin{align*} \lim_{n \to \infty} |\frac{u_{n+1}}{u_n}|^2 &\leq \limsup_{n \to \infty} \int | g_{n+1} |^2 dx \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{ \int | f_n |^2 dx}{|\int f_n dx|^2}\\ &\leq \int \limsup_{n \to \infty} | g_{n+1} |^2 dx \cdot\lim_{n \to \infty} \frac{ \int | f_n |^2 dx}{|\int f_n dx|^2}. \end{align*}
Por lo tanto, necesito mostrar
$$\limsup_{n \to \infty} | g_{n+1} |^2 = 0 \qquad (A)$$
y
$$\lim_{n \to \infty} \frac{ \int | f_n |^2 dx}{|\int f_n dx|^2} < \infty \qquad (B)$$
Esto me parece más complicado de lo que creo que debería ser. Intuitivamente, me parece que sólo tendría que demostrar (A). De todos modos, si alguien tiene una estrategia más sencilla, se lo agradecería mucho.
Información adicional no incluida en mi mensaje original
Las integrales escritas anteriormente en términos de $x$ en la notación de mi documento son
$$\int_\mathbb{R} f_n(\lambda) d\lambda.$$
La forma específica de $f_n(\lambda)$ es el siguiente
$$f_n(\lambda) = \left( \sum_{k=0}^n \frac{e^{t \phi_{\lambda-ik\beta}}} {\prod_{j\neq k}^n (\phi_{\lambda-ik\beta}-\phi_{\lambda-ij\beta})} \right) \left( \prod_{k=0}^{n-1} \chi_{\lambda-ik\beta}\right) (\psi_\lambda, h) \psi_{\lambda}$$
donde
$$\phi_\lambda = \frac{1}{2}a_0^2(-\lambda^2 - i\lambda) - \int_\mathbb{R}\nu_0(dz)(e^{z} - 1 - z)i\lambda + \int_\mathbb{R}\nu_0(dz)(e^{i\lambda z} - 1 - i\lambda z) - c_0$$
y
$$\chi_\lambda = \frac{1}{2}a_1^2(-\lambda^2 - i \lambda) - \int_\mathbb{R}\nu_1(dz)(e^{z} - 1 - z)i\lambda + \int_\mathbb{R}\nu_1(dz)(e^{i\lambda z} - 1 - i\lambda z) - c_1$$
el $a_i$ y $c_i$ son constantes reales positivas. El $\nu_i$ son medidas de Levy.
$$\psi_\lambda = e^{i\lambda y} \qquad (\psi_\lambda, h) = \int_\mathbb{R} \psi_\lambda(y) h(y) dy.$$
El dominio de $f(\lambda)$ , $\psi_\lambda$ y $\chi_\lambda$ son $\mathbb{C}$ . Para simplificar, supongamos que $h$ es $L^2(\mathbb{R},dy)$ .
