¿Por qué cada respuesta de $5^k - 2^k$ divisible por 3?

Question

Tenemos la fórmula $$5^k - 2^k$$

Me he dado cuenta que cada respuesta que usted obtiene de esta fórmula es divisible por 3. Al menos, así lo creo. ¿Por qué es esto? Qué tiene que ver con $5-2=3$?

Answer 1

Sí, sí!

Es porque en general tiene la factorización:

$$ x^k-y^k = (x-y)(x^{k-1}+x^{k-2}y+\dots+y^{k-1}) $$

Sustituyendo en $x=5$ y $y=2$ debe mostrar por qué funciona.

Answer 2

Usted dice congruencias no están familiarizados. Supongamos que usted no sabe las fórmulas en las otras respuestas, pero usted sabe que el polinomio Algoritmo de la División. Dividiendo $\rm\:x^k\!-\!2^k$ en $\rm\:x\!-\!2\:$ rendimientos

$\rm\qquad x^k-2^k =\ q(x)\, (x-2) + r\quad $ para un entero $\rm\:i\:$ y entero coeficiente coeficiente de de $\rm\:q(x).$

La evaluación en $\rm\ x = 2\ $ muestra $\rm\ r = 0.\ $ Evaluar $\rm\: x = 5\:$ muestra $\rm\,3\,$ divide a $\rm\,5^k - 2^k$

Comentario de $\ $ Este es un caso especial del Teorema de Factor, como son las otras respuestas.

Answer 3

Vamos a usar la inducción para demostrar que:

\begin{ecuación} 5^k - 2^k \end{ecuación}

es divisible por 3

Vamos a comprobar la proposición para k = 0 es divisible por 3 \begin{ecuación} 5^0 - 2^0 = 1 - 1 = 0 \end{ecuación} que es divisible por 3 Supongamos que para k = n la proposición

\begin{ecuación} 5^n - 2^n \end{ecuación} es divisible por 3 y vamos a demostrar que \begin{ecuación} 5^{(n+1)} - 2^{(n+1)} \end{ecuación} también es cierto, por lo que \begin{ecuación} 5^{(n+1)} - 2^{(n+1)} = 5{(5^n)} - 2{(2^n)} \end{ecuación} \begin{ecuación} = (3 + 2)(5^n) - 2(2^n) \end{ecuación} \begin{ecuación} = 3(5^n) + 2(5^n) - 2(2^n) \end{ecuación} \begin{ecuación} = 3(5^n) + 2(5^n - 2^n) \end{ecuación} Así, en la expresión anterior \begin{ecuación} 3(5^n) \end{ecuación} es divisible por 3 \begin{ecuación} 2(5^n - 2^n) \end{ecuación} es divisible por 3 de acuerdo a nuestra hipótesis, por lo que la expresión final \begin{ecuación} 3(5^n) + 2(5^n - 2^n) \end{ecuación} también es divisible por 3 Así que podemos concluir que \begin{ecuación} 5^{(n+1)} - 2^{(n+1)} \end{ecuación} es divisible por 3 Significado \begin{ecuación} 5^n - 2^n \end{ecuación} es divisible por 3 para \begin{ecuación} n \in \mathbb{N} \end{ecuación}

Answer 4

Incluso un poco de conocimiento de la aritmética modular se hace obvio:

$$5 \equiv 2 \pmod 3$$

y así

$$5^k \equiv 2^k \pmod 3,$$

que es equivalente a

$$5^k - 2^k \equiv 0 \pmod 3.$$