Diferentes formas de resolver $\sin x \cos y = -1/2$ y $\cos x \sin y = 1/2$

Question

Estaba resolviendo esta pregunta que decía $$ \sin x \cos y = -1/2$$ $$\cos x \sin y = 1/2$$ y tuvimos que resolver para $x$ y $y$ .

Una cosa que deduje fue que si simplemente sumaba las dos ecuaciones entonces obtendría $$\sin x\cos y + \cos x\sin y=0$$ $$\Rightarrow \sin(x+y)=0$$ $$\Rightarrow x+y= n\pi$$

Ahora puedo sustituir $x$ o $y$ de nuevo en la ecuación y puede encontrar fácilmente la respuesta.

Esta es una única forma de resolver la ecuación. ¿Puede haber formas más intuitivas de llegar a la respuesta? No es un tipo de duda, pero sólo quiero ampliar mis horizontes en cuanto a los diferentes enfoques de un mismo problema.

Answer 1

Sugerencia

Multiplica ambos:

$$(2\sin x \cos x)( 2\sin y \cos y) =-1 \Rightarrow \sin(2x)\sin (2y)=-1$$

y utilizar ese $-1 \le \sin \alpha \le 1$

Answer 2

Dividiendo ambos lados de la primera ecuación por la segunda, obtenemos

$$\tan(x)=-\tan(y)$$

de donde se deduce que $x=\ell \pi-y$

Answer 3

Alternativamente, continuando desde donde lo dejó, ya ha $$x+y=n\pi$$

Pero también tienes $$\sin x\cos y-\cos x\sin y=-1\implies\sin(x-y)=-1$$

$$\implies x-y=-\frac{\pi}{2}+m\cdot2\pi$$

Ahora resuelve simultáneamente y tendrás $$x=-\frac{\pi}{4}+\frac{2m+n}{2}\pi$$

Y $$y=\frac{\pi}{4}+\frac{n-2m}{2}\pi$$

Ahora elija pares de $m,n\in \mathbb{Z}$