Estoy un poco confuso sobre la definición de los divisores relativos de Cartier que he encontrado en el libro de Hida "Geometric Modular Forms". En el capítulo $2$ Sección $2.1$ dice que, dado un esquema localmente noetheriano $S$ y una curva reducida plana adecuada $C$ en $S$ un divisor relativo de Cartier es un subesquema cerrado $D\subseteq X$ tal que $D$ es plano sobre $S$ y la gavilla ideal de $D$ , digamos $I(D)$ es invertible en $C$ . Luego, al final de la sección, da el siguiente ejemplo, aparentemente trivial. Considera que $D_N=\text{Spec}(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})\subseteq\text{Spec}(\mathbb{Z})$ donde $N>1$ es un número entero, y dice que es un divisor de Cartier. Supongo que utiliza $\text{Spec}(\mathbb{Z})$ tanto como base $S$ y como la curva $C$ . Por cierto, puesto que $\mathbb{Z}$ es un PID, la planitud coincide con los freenes de torsión, y claramente $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ no es libre de torsión como $\mathbb{Z}$ -ya que $N$ es distinto de cero en $\mathbb{Z}$ y aniquila cada elemento en $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ . ¿Estoy malinterpretando algo? ¿Cuál es el error en toda esta imagen? ¡Muchas gracias por cualquier sugerencia!
Respuesta
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Sí, $\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec}\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\Spec(\Z/N\Z)\hookrightarrow\Spec(\Z)$ no es un divisor de Cartier efectivo relativo sobre $\Spec(\Z)$ porque no es plana sobre $\Spec(\Z)$ . Aquí hay otra manera de ver esto. Los divisores efectivos relativos son estables al cambio de base por [ Etiqueta 056P ]. Por lo tanto, dado un divisor de Cartier efectivo relativo $D\to S$ cada fibra $D_s$ tiene que ser un divisor de Cartier efectivo relativo sobre $\Spec(\kappa(s))$ . No es éste el caso.
Sin embargo, $\Spec(\Z/N\Z)$ sigue siendo un divisor de Cartier efectivo en $\Spec(\Z)$ en sentido absoluto. Esto sólo significa que es un subesquema cerrado de $\Spec(\Z)$ cuya gavilla ideal es invertible. Ver [ Etiqueta 01WQ ] para más información. Lo más probable es que el autor se refiriera a esto.
