Distancia adecuada en cosmología

Question

Si consideramos dos galaxias $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$ separadas por una distancia $d$ (siendo $d$ la distancia comóvil) y la luz se emite desde $\mathcal{A}$ en el tiempo $t_1$ y esa luz es recibida por la galaxia $\mathcal{B}$ en el tiempo $t_2$ en el cual la distancia entre $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$ crece a $a(t_2)\, d$ donde $a(t)$ es el factor de escala. Por lo tanto, $c \,(t_2-t_1)$ (la distancia recorrida por la luz entre $t_2$ y $t_1$) es igual a $a(t_2) \, d$ por lo que la distancia comóvil $d$ es $c \, (t_2-t_1)/a(t_2)$. Pero en realidad es la integral de $c \, dt/a(t)$ desde $t_1$ hasta $t_2$. ¿Alguien podría ayudarme a resolver esta discrepancia?

Answer 1

Puedes pensar en esto de la siguiente manera: la distancia recorrida por un fotón emitido en $\mathcal{B}$ es un resultado integrado de toda la historia de expansión hasta que $\mathcal{A}$ lo recibe. Es decir, mientras el fotón viaja, el factor de escala cambia y la distancia que el fotón debe recorrer se ve constantemente afectada.

Pero en tiempos lo suficientemente pequeños, tu solución es correcta. Así que si $t_1 = t_2 - {\rm d}t$ para un ${\rm d}t$ realmente pequeño, entonces la distancia recorrida por el fotón según tu análisis es

$$ {\rm d}x = \frac{c(t_2 - t_1)}{a(t_2)} = \frac{c(t_2 - t_2 + {\rm d}t)}{a(t_2)} = \frac{c{\rm d}t}{a(t_2)} $$

Ahora solo necesitas sumar todos estos pequeños cambios

y el resultado es

$$ d = \int_{t_1}^{t_2} \frac{c{\rm d}t}{a(t)} $$

Answer 2

Creo que son iguales y no hay discrepancia. Pero el problema es que debes considerar $a(t)=C$, donde $C$ es solo una constante, para decir que la distancia recorrida por la luz es $c(t_2-t_1)$. Ese es el punto crucial.

Vamos a probar esta idea. Por un lado encuentras $d=c(t_2-t_1)/a(t)$ notar que escribo a(t).

Para la métrica FLRW podemos escribir $$ds^2=-c^2dt^2+a^2(t)[dr^2+S^2_k(r)d^2\Omega]$$ Como lo descubriste tu mismo para la luz $ds=0$ y $d\Omega=0$ entonces nos queda

$$c^2dt^2=a^2(t)dr^2$$

y

$$dr=cdt/a(t)$$ integrando tenemos $$\int_0^d dr =\int _{t_1}^{t_2}cdt/a(t)$$Ahora, si asumimos que a(t)=Constante entonces la ecuación simplemente se convierte en, $$d =(t_2-t_1)c/a(t)$$

Lo cual es lo que queríamos encontrar.

Puedes tomar a(t) como constante para distancias cortas o períodos cortos de tiempo. Si no fuera constante entonces no puedes decir que $d=c(t_2-t_1)/a(t)$. Pero solo puedes decir que la distancia proper es $$d=\int _{t_1}^{t_2}cdt/a(t)$$

Nota: Dado que asumimos que $a(t)$ es constante, puedes ajustarlo al valor de $a(t_{emission})$, si lo deseas.