Sea { $a_n$ } $=(3- \frac{1}{n^2},n\sin(\frac{2}{n}))$ . Prueba $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=(3,2)$

Question

Tengo un problema para resolver este límite por definición.

Límite: En $(R^2,d_2)$
Sea { $a_n$ } $=(3- \frac{1}{n^2},n\sin(\frac{2}{n}))$ ,
Prueba $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=(3,2)$

Intento esto:

Sea $\epsilon >0$
Toma $N= ...$
Si $n>N$ entonces:
$d_2(a_n,L)=d_2((3-\frac{1}{n^2},n\sin(\frac{2}{n}),(3,2))=((3-\frac{1}{n^2}-3)^2+(n\sin(\frac{2}{n})-2)^2)^{1/2}$

Nota: $d_2((x_1,y_1),(x_2,y_2))=((x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2)^{1/2}$

Estoy muy atascado con esta prueba. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Obsérvese que una secuencia $((x_n,y_n))$ converge a $(x,y)$ en $\mathbb{R}^2$ sólo si $x_n\to x$ y $y_n\to y$ .

Ciertamente $3-1/n^2\to 3$ por lo que queda por demostrar $n\sin(2/n)\to 2$ . Desde $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ tenemos $$ \lim_{n\to\infty}n\sin(2/n)=2\lim_{n\to\infty}\frac{\sin(2/n)}{2/n}=2. $$