Función limitada e integración

Question

Lo siento si mi inglés no es bueno, soy de Croacia.

Ofrezca un ejemplo de función acotada g y una función no decreciente $\beta$ definido en $[a,b]$ tal que $\mid g\mid \in R(\beta)$ pero para el que $\int_a^b g d\beta$ no existe.

Answer 1

Pista:

Si $g$ y $\beta $ son discontinuas en el mismo punto, la integral de Riemann-Stieltjes no existe. Véase responder .

Toma

$$g(x) = \begin{cases}-1, & 0 \leqslant x < 1/2\\ 1, & 1/2 \leqslant x \leqslant 1 \end{cases}$$

y encontrar un $\beta$ para terminar.