Encuentre una expresión de forma cerrada para $\sum_{k=1}^n a_k$ donde $a_k=2k-1$

Question

Tengo que encontrar la forma analítica simple de $S_{n}$ cuando $S_{n} = a_{1} + a_{2} +\cdots + a_{n}$ y $a_{k} = 2k-1$ . Después de mirar algunos términos veo que $S_{n} = 1+3+5..$ . Cada vez hay una diferencia aritmética de 2, lo que demuestra que se trata de una serie aritmética. ¿Aplicaría $ \dfrac{n(a_{1} + a_{n})}{2}$ , o recurriría a otros medios para hallar la forma analítica de la suma parcial.

Answer 1

Tu primera idea de sumar las series aritméticas funciona perfectamente. Utilizando $a_n=2n-1$ Podemos reescribirlo como $$\frac{n(1 + 2n-1)}{2} = n^2$$ Alternativamente, puede ver el patrón con $n^2$ y luego seguir con una prueba por inducción basada en el hecho de que $$n^2-(n-1)^2=2n-1$$

Answer 2

Sí es una serie aritmética con diferencia común de $2$ .

También puedes calcular la suma de la siguiente manera

$$\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = \sum_{k=1}^{n} 2k - \sum_{k=1}^{n}1$$ $$ = 2 (\sum_{k=1}^{n}k) - n $$

$$ =2.\frac{n(n+1)}{2} - n$$ $$ = n^2 + n - n = n^2$$