Problema de geometría de coordenadas difícil

Question

La base de un triángulo pasa por un punto fijo $P(a,b)$ y sus lados son respectivamente bisectados en ángulo recto por las líneas $x+y=0$ y $x=9y$. Si el lugar geométrico del tercer vértice es un círculo, entonces encuentra su ecuación.

Aparte de que el circuncentro del triángulo dado es el origen $(0,0)$, no he podido encontrar nada más. Además, dado que la geometría dada en el problema está fija, es un poco difícil graficar. ¿Alguna pista o pista??

¡Gracias de antemano!...

La respuesta correcta dada en la clave es:

$4x^2 + 4y^2 + (5a+4b)x + (4a-5b)y=0$

Answer 1

Sea $A(x,y)$ el lugar geométrico requerido.

Primero reflejamos $A(x,y)$ sobre $x+y=0$, obtenemos

$$B=(-y,-x)$$

Ahora reflejamos $A(x,y)$ sobre $x-9y=0$, obtenemos $C=(x',y')$

$$\frac{y-y'}{x-x'}=-9 \tag{1}$$

También, $$\frac{x-9y}{\sqrt{1+9^2}}=-\frac{x'-9y'}{\sqrt{1+9^2}}$$

$$x+x'=9(y+y') \tag{2}$$

Resolviendo $(1)$ y $(2)$, $$C(x',y')=\left( \frac{40x+9y}{41},\frac{9x-40y}{41} \right)$$

Ahora, $BC$ contiene a $P$, entonces

\begin{align*} \frac{-x-b}{-y-a} &= \frac{-x-\dfrac{9x-40y}{41}}{-y-\dfrac{40x+9y}{41}} \\[5pt] \frac{x+b}{y+a} &= \frac{50x-40y}{40x+50y} \\[5pt] (x+b)(4x+5y) &= (y+a)(5x-4y) \end{align*}

Por lo tanto, el lugar geométrico es $$\fbox{$4x^2+4y^2-(5a-4b)x+(4a+5b)y = 0$} \\$$

Answer 2

Bueno, llamemos $(x,y)$ al tercer punto y $(m,n)$ y $(p,q)$ a los puntos base.

El punto medio entre $(x,y)$ y $(p,q)$ pertenece a $x=9y$ entonces

$$x+p=9(y+q) \quad (1)$$

Por la misma razón, pero ahora para $(x,y)$ y $(m,n)$

$$x+m+y+n=0 \quad (2)$$

Una vez que $(0,0)$ es el circuncentro

$$x^2+y^2=p^2+q^2=m^2+n^2 \quad (3)$$

Ahora, resolviendo el sistema $x+p=9(y+q)$ y $x^2+y^2=p^2+q^2$ obtenemos

$$41x=9q+40p$$ $$41y=9p-40q$$

Al resolver el sistema $x+m=-(y+n)$ y $x^2+y^2=m^2+n^2$ obtenemos:

$$n=-x$$ $$m=-y$$

Finalmente, dado que $P=(a,b)$ pertenece a la línea $(p,q)$ y $(m,n)$ entonces

$$\frac{n-q}{m-p}=\frac{q-b}{p-a}$$

Y reemplazando $m,n,p,q$ como función de $x,y$ obtenemos

$$4x^2 + 4y^2 + (5a+4b)x + (4a-5b)y=0$$