¿Número medio de depredadores y presas en el modelo Lotka-Volterra?

Question

Una vez más, no me sorprendería si esto se puede encontrar tal vez incluso en Wikipedia, pero yo no soy un hablante nativo de Inglés y por desgracia no pude encontrar esto a mí mismo.

Así que asumiendo el estándar Ecuaciones de Lotka-Volterra exactamente como está escrito en Wikipedia, que representa el número de presas $x(t)$ y el número de depredadores $y(t)$ :

$$ \frac{dx}{dt} = x(\alpha - \beta y); \\ \frac{dy}{dt} = - y(\gamma - \delta x); $$

Veo que la dinámica es muy peculiar al menos cuando las condiciones iniciales están suficientemente cerca del punto de equilibrio no trivial, es decir, observamos un ciclo (curva cerrada en un plano con un eje que representa el número de presas y el otro eje que representa el número de depredadores).

Mi pregunta es cómo calcular el número medio de depredadores y presas. ¿Dónde debo aplicar la integración? ¿Quizás existan soluciones analíticas en un caso general?

Answer 1

El número medio de presas y depredadores viene dado por las coordenadas del equilibrio no trivial: $$ \hat{x}=\frac{\gamma}{\delta},\\ \hat{y}=\frac{\alpha}{\beta}. $$ Esto se puede generalizar al caso de ${\bf R}^n$ .

Para demostrarlo, basta con observar, por ejemplo, que la primera ecuación puede escribirse como $$ \frac{d}{dt}\ln x=\alpha-\beta y. $$ Integrar esto desde $0$ a $T$ y encontrar que $$ \frac 1T\int_0^Ty(\tau)d\tau=\frac{\alpha}{\beta}. $$