Calcular el $f^{(25)}(0)$ $f(x)=x^2 \sin(x)$

Question

Calcular el $f^{(25)}(0)$$f(x)=x^2 \sin(x)$.

La respuesta es demasiado corto para mí entender, y la respuesta es

$- 25 \cdot 24 \cdot 8^{23}$

Answer 1

$$f(x) = x^2\sin x$$ $$ = x^2 \left(x - \frac{x^3}{3!} +...- \frac{x^{23}}{23!} +...\right)$$ $$ = -\frac{x^{25}}{23!} +...$$ $$f^{(25)}(x) = -\frac{25!}{23!} + ...$$ $$f^{(25)}(0) = -600$$

WolframAlpha , se comprueba que el $8^{23}$ no deberían estar ahí.

Answer 2

el uso de la regla de leibnitz para encontrar la n-ésima derivada de la función. $$\frac{d^n}{dx^n}(uv) = ^nC_0u \frac{d^n}{dx^n} (v)+^nC_1 \frac{d}{dx} (u) \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} v+...... ^nC_n \frac{d^n}{dx^n} (u)v$$ aquí $ u=x^2$ $v=\sin x$ también se nota $$ \frac{d^n}{dx^n} (\sin x)=sin(x+n\frac{\pi}{2})$$ en la solución que usted consigue $$f^{n}(x)=x^2\sin(x+n\frac{\pi}{2})+2nx\sin(x+(n-1)\frac{\pi}{2})+n(n-1)\sin (x+(n-2)\frac{\pi}{2})$$

Answer 3

Aquí es un enfoque. Siga los pasos

i) utilizar la identidad de $\sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix} }{2i} $

ii) utilice la regla del producto para differentition.

Tenga en cuenta que la función de $(x^2)^{(m) }$ se desvanece para $m=3$. Chech este problema relacionado.