Hamiltoniano de la cadena polimérica

Question

Estoy leyendo sobre mecánica clásica. En mi Libro hay un ejemplo de un modelo de polímero clásico simple, que consiste en N partículas puntuales que están conectadas por interacciones armónicas vecinas más cercanas. El Hamiltoniano de este sistema es

$$H = \sum\limits_{i=1}^N \frac{\vec{p}_i^2}{2m} + \frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N-1} m \omega^2(|\vec{r}_i - \vec{r}_{i+1}| - b_i)^2, $$

donde $p$ significa impulso, $r$ para la posición y $m$ para la masa de la partícula respectiva en la cadena. Ahora viene la parte que no entiendo: $b_i$ es la longitud de enlace de equilibrio. No entiendo por qué se resta la longitud de enlace de la distancia entre dos partículas vecinas de la cadena en la fórmula anterior. ¿Cuál es el significado físico de hacer esto?

He incluido la imagen de abajo para la visualización del problema. En mi caso, $k_1 = k_2 = k_3 = k_4 = k$ y también todas las masas son iguales a m. A mi entender, la $b_i$ (longitud de enlace de equilibrio) sería el muelle negro (línea espiral entre dos círculos) de la imagen inferior.

Answer 1

Cada punto de masa tiene una posición "por defecto" en la que los muelles están relajados y no ejercen fuerza sobre las masas. Es entonces cuando los muelles tienen la longitud $b$ por lo tanto, la distancia entre $r_i$ y $r_{i+1}$ es $b$ . Esto a su vez significa

$$|r_i-r_{i+1}|-b_i=0.$$

El término correcto es entonces cero, porque no hay energía potencial en el sistema.

Es más fácil de entender si se define $d_i=|r_i-r_{i+1}|$ entonces la fórmula anterior es $(d_i-b_i)^2$ lo que significa que la energía potencial es cero si la longitud real del muelle es igual a la longitud del muelle de equilibrio.

Además, utilizaría $r_{i+1}-r_i$ en lugar de $r_i-r_{i+1}$ porque puedes deshacerte del valor absoluto $||$ si define $r_{i+1}>r_i$ (que es el caso estándar).