Enigma de lógica y probabilidad con diagramas de Venn

Question

Se elige un alumno al azar entre los 100 alumnos. A continuación, se elige otro estudiante de entre los restantes. Halla la probabilidad de que el primer alumno estudie Historia y de que el segundo estudie Geografía pero no Psicología.

Estoy perdido en lo que respecta a este problema, ya que pensaba que habría que sumar el número de alumnos que estudian historia en general, que es de 43. Entonces simplemente multiplicaría 43/100 por el número de alumnos que cursan Geografía pero no Psicología, sin embargo esto deja una incertidumbre sobre si el primer alumno era de los 25 que cursan H y Geografía o no, y esto cambiaría la respuesta que obtengo.

Si pudiera explicarme qué tengo que hacer y por qué en términos sencillos, se lo agradecería.

Si hay algún problema con la pregunta, por favor hágamelo saber.

Answer 1

Divida el acontecimiento en casos disjuntos:

1. El primer alumno estudia Historia pero no Geografía; el segundo estudia Geografía pero no Psicología
2. El primer alumno estudia Historia y Geografía pero no Psicología; el segundo estudia Geografía pero no Psicología
3. El primer alumno estudia las tres asignaturas; el segundo estudia Geografía pero no Psicología

Calcula la probabilidad de cada caso y luego súmalas.

Answer 2

Como te has dado cuenta, la probabilidad de que el segundo alumno estudie Geografía pero no Psicología depende de si el primero estudia Geografía o no, y lo mismo para Psicología.

Así que lo más fácil es considerar esas 4 posibilidades.

1. El primer alumno estudia Geografía y Psicología (además de Historia).

Existen $3$ dichos estudiantes (así $P(H_1,G_1,P_1)=\frac{3}{100}$ ), y siendo el primer alumno uno de esos $3$ hay $37$ alumnos dejaron de estudiar Geografía pero no Psicología (por lo que $P(G_2,P_2'|H_1,G_1,P_1)=\frac{37}{99}$ )

2. El primer alumno estudia Geografía pero no Psicología (pero sí Historia).

Existen $25$ dichos estudiantes (así $P(H_1,G_1,P_1')=\frac{25}{100}$ ), y siendo el primer alumno uno de esos $25$ hay $36$ alumnos dejaron la carrera de Geografía pero no la de Psicología (por lo que $P(G_2,P_2'|H_1,G_1,P_1')=\frac{36}{99}$ )

3. El primer alumno estudia Psicología pero no Geografía (aunque sí Historia).

Existen $8$ dichos estudiantes (así $P(H_1,G_1',P_1)=\frac{8}{100}$ ), y siendo el primer alumno uno de esos $3$ hay $37$ alumnos dejaron la carrera de Geografía pero no la de Psicología (por lo que $P(G_2,P_2'|H_1,G_1',P_1)=\frac{37}{99}$ )

4. El primer alumno no estudia ni Psicología ni Geografía (pero sí Historia).

Existen $7$ dichos estudiantes (así $P(H_1,G_1',P_1')=\frac{7}{100}$ ), y siendo el primer alumno uno de esos $3$ hay $37$ alumnos dejaron la carrera de Geografía pero no la de Psicología (por lo que $P(G_2,P_2'|H_1,G_1',P_1')=\frac{37}{99}$ )

Así que..: $P(H_1,G_2,P_2')=$

$P(H_1,G_1,P_1)\cdot P(G_2,P_2'|H_1,G_1,P_1) + P(H_1,G_1,P_1')\cdot P(G_2,P_2'|H_1,G_1,P_1')+P(H_1,G_1',P_1)\cdot P(G_2,P_2'|H_1,G_1',P_1) + P(H_1,G_1',P_1')\cdot P(G_2,P_2'|H_1,G_1',P_1')=$

$\frac{3}{100}\cdot\frac{37}{99} + \frac{25}{100}\cdot\frac{36}{99} + \frac{8}{100}\cdot\frac{37}{99} + \frac{7}{100}\cdot\frac{37}{99}=...$

Ahora bien, observe que la única vez que realmente tenemos un cambio es en el segundo caso: cuando el primer alumno estudia Geografía pero no Psicología, es decir, cuando el primer alumno es como el segundo en cuanto a estudiar Geografía/Psicología. Y eso tiene sentido: si el primer alumno no es exactamente como el segundo en ese aspecto, entonces el número de alumnos que son como el segundo, y por tanto la probabilidad de elegir a cualquier alumno como el segundo, no se ve afectada.

Así, en retrospectiva, podríamos haber desglosado esto de forma un poco más eficiente en sólo 2 casos:

1. El primer alumno estudia Historia, y es como el segundo (es decir, también estudia Geografía, pero no Psicología)

Existen $25$ dichos estudiantes (así $P(H_1,G_1,P_1')=\frac{25}{100}$ ), y siendo el primer alumno uno de esos $25$ hay $36$ alumnos dejaron de estudiar Geografía pero no Psicología (por lo que $P(G_2,P_2'|H_1,G_1,P_1')=\frac{36}{99}$ )

2. El primer alumno estudia Historia, pero no es como el segundo (es decir, o bien no estudia Geografía, o bien estudia Psicología (o ambas cosas)).

Existen $18$ tales estudiantes ... y en cada caso, hay $37$ posibilidades dejadas para el segundo estudiante.

Así que sí, esto habría simplificado las matemáticas ... pero la primera manera era definitivamente una forma más segura de hacerlo, ya que de hecho se sentía como un problema bastante complicado.

Answer 3

Caso $1$ : Estudiante $1$ es uno de los 18 estudiantes que no cumplen las condiciones de Student $2$

$\frac{18}{100}\cdot \frac {37}{99}$

Caso $2$ :Estudiante $1$ es uno de esos $25$ estudiantes no acogidos a Case $1$

$\frac{25}{100}\cdot \frac{36}{99}$

Añadir ambos casos