Trabajar en $V$ . Sea $P = \text{Col}(\omega, \omega_1)$ y supongamos que $G$ es genérico para $P$ en $V$ . Entonces $V[G]\models |\omega_1^V|=\aleph_0$ y $\omega_2^V=\aleph_1$ . En particular, $V[G]\models\omega_1^V$ es un ordinal comprendido entre $\omega$ y $\omega_1^{V[G]}$ . ¿Qué ordinal es? Supongo que la respuesta depende de $G$ y lo mejor que podemos decir es que es un ordinal límite.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Creo que no estás entendiendo el colapso de Levy.
El forzamiento [sobre modelos transitivos] no añade ordinales. Tampoco elimina ordinales. Lo que hace el colapso es añadir una biyección entre $\omega$ y $\omega_1$ .
Obsérvese que todos los ordinales "definibles" ( $\varepsilon_0$ etc.), por lo que son muy pequeños, y $\omega_1^V$ está mucho más allá de ellos.
Y a tu comentario, sí. De hecho, así es como lo llamaríamos: $\omega_1^V$ . Si $\alpha$ es un ordinal contable y sabemos que existe un modelo interno $M$ en el que $\alpha=\omega_1^M$ entonces sabemos inmediatamente dos cosas:
- $\alpha$ es un ordinal contable bastante grande; y
- $\omega_1^M$ es una forma excelente de nombrarlo.
En el caso del forzamiento, en realidad empezamos con el modelo interior.
Por el comentario:
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Definibilidad es una palabra fuerte. Si el modelo de suelo fuera $L$ ciertamente $\omega_1^L$ es un ordinal definible. Es el ordinal menor que no hay biyección entre él y $\omega$ que satisface el axioma de constructibilidad. Además, ahora sabemos que el modelo básico es definible con parámetros. Esto significa que $\omega_1^V$ es definible a partir de parámetros en $V[G]$ con el mismo truco.
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Tenga en cuenta que la aritmética ordinal no se modifica con el forzado. Esto significa que $\omega_1^V$ es un $\varepsilon$ número en $V[G]$ desde $\omega^{\omega_1}=\omega_1$ en $V$ además es un punto fijo de $\varepsilon$ números, por las mismas razones. A saber, si $\alpha=\omega_1^V$ entonces $\alpha=\varepsilon_\alpha$ que en $V$ es el $\omega_1$ -y en $V[G]$ no lo es.
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Desde $\omega_1^V$ es un $\varepsilon$ su forma normal de Cantor es de hecho $\omega_1^V$ por lo que no hay forma más sencilla de escribirlo.
