Tengo problemas para entender la siguiente definición de grupo abeliano libre: $$\mathbb{Z}^{(A)} := \{f: A\rightarrow \mathbb{Z} \ |\ f(a)\ne 0\ \ \text{for finitely many elements}\ a \in A\}$$
No consigo escribir un elemento de este conjunto como una suma formal. En internet he podido encontrar tal representación: $$f = \sum_{a \in A}{n_a\phi_a}$$ Dónde $\phi_a(x) = \begin{cases} \text{1,} &\quad\text{if x}\ = \text{a} \\ \text{0,} &\quad\text{if x}\ \ne \text{a}\\ \end{cases}$
El problema es que no entiendo lo que $n_a$ está aquí, muchos recursos no mencionan de qué se trata. Por ejemplo, en Wikipedia se escribe como una función, pero esto no me parece natural. Es $n_a\phi_a$ ¿una composición de funciones entonces? Un valor entero parece encajar más aquí.
Estoy totalmente de acuerdo con menos definición general de un grupo libre $\mathbb{Z}^{\oplus n} = \underbrace{\mathbb{Z}\oplus\ .\ .\ .\ \oplus\mathbb{Z}}_\text{n-times}$ . Con un elemento de $\mathbb{Z}^{\oplus n}$ siendo una tupla $(m_1, ..., m_n)$ que se puede escribir de forma única como una suma: $$\sum_{i = 1}^n{m_i\phi(i)}$$ Con $\phi(i) := \underset{\text{i-th place}}{(0,\ .\ .\ .,\ 0,\ 1,\ 0,\ .\ .\ .\ ,\ 0)} \in \mathbb{Z}^{\oplus n}$ y $m_i$ siendo algún coeficiente entero.
Entiendo que $\mathbb{Z}^{(A)}\cong \mathbb{Z}^{\oplus n}$ si, por ejemplo, si $A =\{1,\ .\ .\ .\ , n\}$ entonces $(m_1, ..., m_n)$ puede identificarse con una función $A\rightarrow \mathbb{Z}$ tomando $i$ a $m_i$ . Pero no entiendo cómo juntar esta información y definir un elemento de $\mathbb{Z}^{(A)}$ vía suma.
Además, si el homomorfismo de grupo $\psi:\mathbb{Z}^{(A)} \rightarrow G$ ( $G$ es un grupo abeliano arbitrario) definirse como $$\psi(\sum_{a \in A}{n_a\phi_a}):= \sum_{a \in A}{n_af(a)}$$ donde $f:A\rightarrow G$ es una función de conjunto (un functor olvidadizo, de hecho). De nuevo, sólo valor entero $n_a$ me parece bien.
Otro punto de confusión es el hecho de que sólo se utilicen sumas finitas, $\mathbb{Z}^{(A)}$ se define para tener función con sólo finitamente muchos valores distintos de cero. ¿Por qué? No entiendo intuitivamente de qué manera los infinitos podrían "romper" los grupos libres, ya que sólo se me dio una definición, pero no una explicación de por qué.
Gracias de antemano
