Si la fila de una matriz se divide por un escalar, ¿se multiplica el determinante por el escalar?

Question

Ahora mismo estoy un poco confuso con mi libro de texto. Donde mi libro de texto define que, cuando una fila se multiplica por un escalar, entonces el determinante también se multiplica por un escalar definición de libro de texto Lo que me confunde es que un vídeo de youtube que estoy viendo, y siguiendo me da la respuesta correcta está dando una definición opuesta. Cuadro de definición conflictiva

Seguir la definición del vídeo de youtube me da la respuesta correcta, pero parece ser exactamente lo contrario de la definición de la página web. Ejemplo de problema donde puedes ver que al multiplicar una fila por un escalar (1/3), multiplico el determinante por (3) no por (1/3), lo que me da la respuesta correcta.

¿Alguien sabe qué estoy entendiendo mal?

Answer 1

No, es posible que desee comprobar su trabajo.

Si se multiplica una fila de la matriz por $k$ el determinante TAMBIÉN se multiplica por $k$ .

Su trabajo también concuerda con esto.

Sea A tu matriz original y B tu nueva matriz.

Usted dijo que $\det(A) = 3\det(B)$ es lo mismo que decir $\det(B) = \frac{1}{3}\det(A)$ .

Answer 2

Si la fila de una matriz se multiplica por un escalar, el determinante también se multiplica por ese escalar.

La división que estás viendo se produce porque, cuando estamos encontrando el determinante de una matriz, no queremos que cambie en absoluto.

Así, por ejemplo, podría escribir que $$ \det \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} =\frac1{100} \det \begin{bmatrix}100 & 200 \\ 3 & 4\end{bmatrix}. $$ Si multiplicamos la primera fila por $100$ multiplicamos el determinante por $100$ por lo que introducimos un factor de $\frac1{100}$ para mantener la misma expresión general.

Esto equivale a escribir $$ \det \begin{bmatrix}100 & 200 \\ 3 & 4\end{bmatrix} = 100\det \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}. $$

Answer 3

• Si se multiplica una fila de una matriz por una constante $k$ entonces el determinante de la nueva matriz es $k$ veces el determinante de la matriz antigua.

• Si al intentar calcular el determinante de la matriz antigua se divide una fila por una constante $c \not= 0$ entonces el determinante de la matriz antigua es $c$ veces el determinante de la nueva matriz.

Estas dos afirmaciones dicen básicamente lo mismo con $c = \frac1k$ y son coherentes entre sí.

Answer 4

La norma es la siguiente $$ \det(a_1,\ldots,\lambda a_i,\ldots,a_n) = \lambda\det(a_1,\ldots,a_n). $$ Por lo tanto, $$ \det(a_1,\ldots,a_n) = c\cdot \det(a_1,\ldots,\frac 1ca_i,\ldots,a_n). $$