¿Puede la intersección de los límites de conjuntos compactos y convexos ser un único elemento?

Question

Sea $H_1,H_2,\dots,H_n$ sean conjuntos compactos y convexos en $\mathbb{R}^n$ tal que $\bigcap_{j=1}^n H_j$ tiene un interior no vacío y para cada $i=1,2,\dots,n$ existe al menos un elemento $x \in H_i$ tal que $x \not \in \bigcup_{j\not = i} H_j$ . Puede $\bigcap_{j=1}^n \partial H_j$ ser un único punto?

Answer 1

En ${\mathbb R}^3$ Prueba con tres conos macizos de diferentes alturas y con el mismo radio de base, eje y vértice (siendo el vértice la intersección de los tres límites).

Answer 2

Sí: piense en tres bolas cerradas en $\mathbb{R}^3$ tal que la intersección de los límites de las dos primeras bolas es un pequeño círculo tangente al límite de la tercera bola desde el interior.

Answer 3

Sí, es posible. He aquí un ejemplo genérico: tome $n$ puntos rojos y un punto azul en $\mathbf{R}^n$ de modo que el casco convexo de estas $n+1$ puntos tiene interior no vacío. En este interior tomar un punto verde. Sea $H_i$ sea el casco convexo del punto azul, del punto verde y del $n-1$ puntos rojos restantes tras eliminar el $i$ -th, y se obtiene una configuración adecuada.

Si no le gustan los colores, considere $\tilde H_i$ el semiespacio definido por $x_i \ge 0$ y considerar $H_i$ la intersección de $\tilde H_i$ con el cubo formado por puntos cuyas coordenadas están comprendidas entre $-1$ y $0$ .