Qué $\mu^{*}(E)=1$ implican $\mu^{*}(E^{c})=0$ al $\mu$ es una cubierta exterior de medida y la medida del espacio es $1$

Question

Deje $(X,S,\mu)$ ser una medida de espacio s.t. $\mu(X)=1$.

Deje $\mu^{*}$ ser $X$ por:

$$\forall E\subseteq X:\,\mu^{*}(E):=\text{inf}\left\{\sum_{i=1}^{\infty}\mu(A_{i})\,|\, A_{i}\in S,E\subseteq\cup A_{i}\right\}$$

Tengo un set $E$ s.t. $\mu^{*}(E)=1$, significa esto $\mu^{*}(E^{c})=0$?

He intentado trabajar con la definición, $\epsilon>0$ no es $N\in\mathbb{N}$ $\{A_{i}\}_{i=1}^{N}\subseteq S$ s.t. $\sum_{i=1}^{N}\mu(A_{i})\geq1-\epsilon$ $E\subseteq\cup_{i=1}^{N}A_{i}$

Quiero usar el $A_{i}$'s para obtener algunos de $B$ s.t $E^{c}\subseteq B$ y $\mu(B)<\epsilon$, pero no he podido encontrar un conjunto.

Por favor alguien puede ayudarme a entender si esta afirmación es verdadera, y si es así ¿cómo demostrarlo?

Answer 1

Respuesta: No, no. Existe un conjunto $\mathbf{E \subset [0,1]}$$\mathbf{\mu^*(E) = 1}$$\mathbf{\mu^*(E^c) > 0}$.

Tenga en cuenta que si para un conjunto $E\subset [0,1]$ tenemos $\mu^*(E) = 1$, entonces, por definición, $$\mu^*(E^c) = 0 \text{ if and only if } E \text{ is measurable.}$$

Existe un no-medibles set $E\subset [0,1]$ $\mu^*(E) = 1$ como se explicó en matemáticas.SE post Vitali-tipo conjunto con exterior de la medida. Para este conjunto $E$,$\mu^*(E) = 1$$\mu^*(E^c) > 0$. (De hecho, podemos construir $E\subset [0,1]$ s.t. $\mu^*(E) = \mu^*(E^c) = 1$.)