¿Hay otra prueba sobre la irracionalidad de $\sqrt{2}$ sin utilizar una contradicción?

Question

Una prueba bien conocida para demostrar la irracionalidad de $\sqrt{2}$ es por contradicción. ¿Existe otro método para demostrar la irracionalidad de $\sqrt{2}$ mejor que por contradicción?

Answer 1

Por el criterio de Eisenstein el polinomio $x^2-2$ es irreducible sobre el anillo de enteros, es decir $2 \nmid 1$ y $2|-2, 2^2\nmid -2$ por lo que, según el lema de Gauss, también es irreducible sobre racionales. Por lo tanto la solución es irracional (sabemos que es real) .

Answer 2

Es una cuestión de definición. Los números racionales son en realidad un caso particular muy raro de los números reales.

Digamos que hablas de números reales como fracciones continuas simples (que son, por cierto, un tema increíble para hablar con los estudiantes de secundaria interesados en las matemáticas, es muy fácil de entender y un montón de diversión para experimentar - ya que el OP aparentemente está preguntando en relación con la enseñanza de los estudiantes de secundaria ).

Usted acaba de ofrecer una definición de un SCF, como la siguiente fracción:

$$x=\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+ \cdots}}}$$

Dónde todos $a_j$ son enteros positivos.

Y / o la relación de recurrencia de segundo orden para los denominadores y numeradores de los convergentes (ver Wikipedia y otras fuentes).

Deje que los alumnos jueguen con estas definiciones. A continuación, explique que cualquier fracción de este tipo converge en el sentido de que, a medida que se trunca a niveles cada vez más profundos, el número de dígitos cada vez mayor se mantiene constante. Y así sucesivamente, los CF son un tema increíble.

Ahora, por último, diles lo más importante:

Por definición, los números racionales son precisamente los números reales con finito Ampliación del SCF.

Una vez más, esto debería estar suficientemente claro para un estudiante brillante de secundaria.

Y ahora muéstrales cómo conseguir un SCF para $\sqrt{2}$ :

$$x^2=2$$

$$x^2-1=1$$

$$(x-1)(x+1)=1$$

$$\sqrt{2}=x=1+\frac{1}{1+x}=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+ \cdots}}}$$

Es bastante fácil ver que esta fracción continua nunca terminará, así que por nuestra propia definición, este número no puede ser racional.

Soy consciente de que esto no es sólo una prueba basada en la contradicción, sino que no es en absoluto una prueba adecuada. Pero de nuevo, si el objetivo es enseñar a los estudiantes de secundaria, esto podría funcionar mejor.

Answer 3

Prueba 1: $\sqrt{2}$ es una raíz no entera de un polinomio mónico con coeficientes enteros, por lo tanto irracional por el teorema de la raíz entera.

Prueba 2: $\sqrt2$ es el límite de una secuencia de racionales $\frac{p_n}{q_n}$ satisfaciendo $|\sqrt2-\frac{p_n}{q_n}|=o(\frac{1}{q_n})$ que le permite concluir como explicado aquí .