Utilizando la fórmula de d'alembert para deducir $k_1(z)$ y $k_2(z)$ demuestran que son periódicas con período $2$ .

Question

Consideremos una cadena semi-infinita estirada entre $2$ puntos fijos. Sea $u(x, t)$ sea el desplazamiento de una cuerda, en la posición $x$ y el tiempo $t.$

Describimos la ecuación de onda mediante: $$u(x, t) = k_1(x ct) + k_2(x + ct)$$ para funciones arbitrarias $k_1(z)$ y $k_2(z).$

La cadena está sujeta a condiciones de contorno: $$u(0, t) = u(1, t) = 0 ,\: t > 0.$$

La cuerda tiene un desplazamiento inicial $u(x, 0) = f(x), x (0, 1)$ y está inicialmente en reposo.

Combinar las expresiones derivadas de $k_1(z)$ y $k_2(z)$ para deducir que $k_1(z)$ y $k_2(z)$ son periódicas con período $2$ .

Para la derivación de las expresiones, ya he deducido que $k_1(z) = k_2(z)$ y $k_2(1+z)=-k_1(1-z)$ . Mi problema es que no puedo probar que esto sea periódico o que tenga un periodo de $2$ así que cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Desde $k_1(z)=-k_2(-z)$ basta con demostrar que $k_1$ es periódica con período $2$ . Teniendo esto en cuenta, vayamos directamente al grano: $$ k_1(2+z) = k_1(1+(1+z)) = -k_2(1-(1+z)) = -k_2(-z) = k_1(z), $$ donde hemos utilizado $k_1(1+w)=-k_2(1-w)$ y luego $k_1(z)=-k_2(-z)$ . Por lo tanto, el período es como máximo $2$ pero puede ser $2/n$ para algún número entero $n$ .

De hecho, el periodo no puede ser inferior a $2$ pero para ello necesitamos apoyarnos en las condiciones iniciales: juntas implican que $k_1(z)=k_2(z)=f(z)/2$ (véase aquí ), y así $$ k_1(1+z)=-k_2(1-z) = -f(1-z)/2 \neq f(z)/2 = k_1(z) $$ en general; además, el período no puede ser inferior a uno a menos que $f$ es periódica.