Serie infinita $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^k}\zeta(n)$

Question

Podemos demostrar que $$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\zeta(n)=\gamma$$

De hecho, si dejamos que $f(z)=\sum_{m=2}^\infty\frac{(-1)^m}m z^m$ Entonces, por el método que se utiliza en este pregunta ,

$$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\zeta(n)=\sum_{n=1}^nf\left(\frac1 n\right)=\sum_{n=1}^\infty\sum_{m=2}^\infty\frac{(-1)^m}{mn^m}=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac1 n+\log\left(1-\frac1 n\right)\right)=\gamma$$

¿Hay algún valor conocido para $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^k}\zeta(n)$ para cada número natural $k\ge2$ ? ¿Cuál es el mejor resultado?

Answer 1

Sólo consigo $$ \sum _{n=2}^{\infty }{\frac { \left( -1 \right) ^{n}\zeta \left( n \right) }{{n}^{2}}} = \gamma+\int _{0}^{1}\!{\frac {\ln \left( \Gamma \left( s+1 \right) \right) }{s}}{ds} $$ Probablemente no sea de mucha ayuda.

Answer 2

No sé si esto puede ayudar, probablemente no, pero de $$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}x^{n}}{n}\zeta\left(n\right)=x\gamma+\log\left(\Gamma\left(x+1\right)\right)$$ podemos conseguir $$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}x^{n-1}}{n}\zeta\left(n\right)=\gamma+\frac{\log\left(\Gamma\left(x+1\right)\right)}{x}$$ y así $$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}x^{n}}{n^{2}}\zeta\left(n\right)=\gamma x+\int_{0}^{x}\frac{\log\left(\Gamma\left(y+1\right)\right)}{y}dy$$ Tenga en cuenta que para $x=1$ tenemos el resultado de GEdgar. Con el mismo método, podemos obtener $$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}x^{n}}{n^{3}}\zeta\left(n\right)=\gamma x+\int_{0}^{x}\frac{1}{t}\left(\int_{0}^{t}\frac{\log\left(\Gamma\left(y+1\right)\right)}{y}dy\right)dt$$ y así sucesivamente. Seguramente estas integrales son bastante espantosas.