Un ejemplo de problema de valores propios de Sturm-Liouville

Question

No estoy seguro de si esto ya se ha preguntado antes, pero no lo he encontrado.

Quiero resolver el problema de valores propios de Sturm-Liouville $$u''+\lambda u=0,\ \ u'(0)=u(1)=0.$$ Sea el operador diferencial SL $Lu=u''.$ Quiero encontrar los valores propios/funciones de $L$ resolviendo la EDO de valor límite. (Sugerencia: La solución de la EDO es

$$u(x)=\lambda\int_0^1 g(x,s)u(s)ds$$ donde $g(x,s)= \begin{cases} s(1-x),\ 0\leq s\leq x\leq 1\\ x(1-s),\ 0\leq x\leq s\leq 1 \end{cases}.$ )

Esta es mi solución. Para resolver la EDO, digamos $u''=\frac{\partial u' }{\partial x}$ . Entonces $$\int \partial u' = -\lambda \int u(t) \partial t$$ $$u'(x) = -\lambda \int_a^x u(t) \partial t + c_1$$ Ahora, dejemos que $u'(x) = \frac{\partial u(x) }{\partial x}$ . Entonces, $$\int \partial u(x) = \int^x_b \big( -\lambda \int^x_a u(t) \partial t + c_1\big)\ dx$$ $$u(x) =-\lambda \int^x_b \big( \int^x_a u(t) \partial t + c_1\big)\ dx +c_2$$ ¿Puede alguien ayudarme con esto?

Answer 1

Un enfoque más sencillo.

La solución general para la DE $u''+\lambda u = 0$ es

$$u = c_1\sin(\sqrt \lambda t)+c_2\cos(\sqrt\lambda t)$$

las condiciones de contorno son

$$\cases{u'(0) = \sqrt\lambda c_1\cos(\sqrt\lambda 0)-\sqrt\lambda c_2\sin(\sqrt\lambda 0) = 0\\ u(1) = c_1\sin(\sqrt \lambda)+c_2\cos(\sqrt\lambda) = 0}$$

o

$$\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\ \sin(\sqrt\lambda) & \cos(\sqrt\lambda)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}c_1\\ c_2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$$

ahora para tener soluciones no triviales necesitamos $\cos(\sqrt\lambda) = 0$ o

$$\sqrt\lambda = (2k+1)\frac{\pi}{2}$$

entonces los valores propios son

$$\lambda_k = \left((2k+1)\frac{\pi}{2}\right)^2$$

y las funciones propias son

$$u_k = \cos\left((2k+1)\frac{\pi}{2}t\right)$$

Esas funciones propias pueden utilizarse para resolver problemas no homogéneos con las mismas condiciones de contorno.