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Hallar la trivilización local del haz de líneas canónico

Estoy repasando "Geometría, topología y física" de Nakahara y me he atascado en un cálculo.

Tengo el espacio total $$L=\{(p,v)\in\mathbb{C}P^n\times\mathbb{C}^{n+1}|v=ap,a\in\mathbb{C} \} $$ y el mapa de proyección $\pi:L\rightarrow\mathbb{C}P^n$ como $\pi(p,v)=p.$

Hasta ahora tengo que la fibra es entonces $\mathbb{C}^{n+1}$ en $\mathbb{C}P^n$ y que la trivialización es el mapa $\phi_i^{-1}:\pi(p,v)\rightarrow U_k\times\mathbb{C}^{n+1}$ donde $\{U_k\}$ es una cubierta abierta n de $\mathbb{C}P^n\simeq\mathbb{C}$ con coordenadas $(z_0/z_1,z_1/z_2\dots z_n/z_0)$ .

Así que pensé que la trivialización es entonces $\phi_i(v)=(p,\frac{z_k}{|z_{k+1}|})$ y la función de transición es $t_{ij}=\frac{z_k|z_{j+1}|}{|z_{k+1}|z_j} $ .

la estructura del grupo es $G\supset \{t_{kj}\}$ .

Estoy un poco fuera de mi profundidad aquí por lo que cualquier ayuda es muy apreciada.

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chaiwalla Puntos 1132

$\newcommand{\Cpx}{\mathbf{C}}\newcommand{\Proj}{\mathbf{P}}$ En primer lugar, una pequeña nota sobre terminología: Hoy en día es común llamar al haz de líneas $L$ el tautológico bulto. El término haz "canónico" casi universalmente connota la potencia exterior superior del haz cotangente.


La trivialización estándar del haz de líneas tautológico sobre $U_{k}$ viene dada por la sección (holomorfa local no evanescente) $$ \sigma_{k}[z_{0} : \dots : z_{n}] = \bigl(\underbrace{[z_{0} : \dots : z_{n}]}_{\in \Cpx\Proj^{n}}, \underbrace{z_{0}/z_{k}, \dots, z_{n}/z_{k}}_{\in \Cpx^{n+1}}\bigr). $$ En $\Cpx^{n+1}$ son cocientes de coordenadas homogéneas y, por tanto, funciones locales bien definidas; juntas abarcan la línea representada por $[z_{0} : \dots : z_{n}]$ . La función de transición es $t_{ij} = z_{i}/z_{j}$ .

El siguiente diagrama (tomado de Colector bandera a línea proyectiva compleja ) muestra las dos secciones locales de la recta proyectiva.

Lines through the origin in the plane

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