Esto está de acuerdo con el comentario de Igor sobre la respuesta de Anton, pero se hizo demasiado largo.
Yo diría que, sea cual sea el enfoque que se adopte en última instancia, para un curso de posgrado de primer año sin duda tiene que hacerse "correctamente", es decir, partiendo de la definición intrínseca de una variedad lisa y utilizando el lenguaje "moderno" y las definiciones generales de haces tensores, conexiones, etc.
Absolutamente crucial (y esto es lo que inspiró este comentario), el curso simplemente tiene enseñar a la gente que los colectores son algo más que superficies 2D, porque por eso la teoría es tan útil y tan destacada en las matemáticas modernas. Se trata, sin duda, de la enorme diversidad de objetos susceptibles de ser pensados geométricamente (sea lo que sea lo que eso signifique). El trabajo del profesor consistiría entonces en mantener la intuición de "superficies en R^3" utilizando al mismo tiempo definiciones generales. Creo que esto es posible. Si no, ¿qué demonios estamos haciendo?
Por el aspecto de los libros mencionados en la pregunta, ciertamente parece un curso sobre lo que yo llamaría "Topología Diferencial". Por supuesto, no hay nada malo en un buen curso de topología diferencial. Sin embargo, no me parece que sea sinónimo de "A First Course on Smooth Manifolds". Mi libro de cabecera para esto último es Introduction to Smooth Manifolds, de John Lee.
