El problema será que los alumnos no dominan el cálculo multivariable.
Probablemente deberías empezar con un repaso riguroso del cálculo multivariable, incluyendo la definición de diferenciable, C^1 implica diferenciable en conjuntos abiertos, los parciales mixtos son iguales, el teorema de la función inversa, el teorema de inmersión local, el teorema de inmersión local. Eso te permitirá pasar a la definición de colector liso como subconjunto parametrizado de R^n como en Guilleman y Pollack.
Guillemann y Pollack es una suavización de "Topology from a Differentiable Viewpoint" de Milnor y como tal de Milnor y, como tal, es el enfoque de nivel más bajo que se puede adoptar para introducir a los estudiantes en la "materia" de la topología. Los ejercicios son buenos. Me gusta que los alumnos dividan las secciones largas de ejercicios guiados para presentarlas en la pizarra. Me gusta complementar el libro con la demostración del lema de Morse, con un debate de los números de enlace y demostrando que la fibración de Hopf no es homotópica a un mapa constante utilizando números de enlace. También me gusta tocar el tema de las variables complejas demostrando el principio del argumento. Por último, me gusta demostrar que dos mapas de un n-manifold orientado cerrado a la n-esfera son homotópicos si y sólo si tienen el mismo grado. No lo hago todo en un mismo año, porque no tengo tiempo. En general, me baso en lo que parece interesar al grupo de estudiantes de la clase de ese año.
Ten cuidado en la sección sobre integración, omiten (o omitieron en una edición anterior) que necesitas usar parametrizaciones que preserven la orientación para definir la integral.
Después de impartir ese curso durante unos 15 años, cambié de rumbo y empecé a enseñar los fundamentos de las variedades lisas en lugar del curso de Guilleman y Pollack, para que los estudiantes pudieran aprender una definición más madura de variedad lisa e introducir los haces vectoriales, tensores y grupos de Lie. He utilizado tanto los libros de Jack Lee como los de Boothby. Cada uno tiene sus puntos fuertes y sus puntos débiles (al menos en el uso con estudiantes de posgrado en Iowa). Esto resultó ser mejor para el programa de posgrado en su conjunto, porque los chicos que querían hacer teoría de la representación o EDP podían exponerse a las ideas que verían en su investigación. También permitió que la secuencia de Geometría Diferencial se impartiera con más regularidad. Si decides seguir ese camino, sería aconsejable que empezaras con cálculo multivariable, ya que, en realidad, muy pocos estudiantes de matemáticas tienen una base suficiente de cálculo.
Sin embargo, los estudiantes están mucho menos contentos de cursar los fundamentos de las variedades lisas, porque no ofrece la gratificación inmediata de estudiar el grado y el número sinuoso. De hecho, cuando imparto la asignatura como Fundamentos de las variedades lisas, siempre hay un bloque de 3 ó 4 estudiantes que están resentidos por haberla cursado. Cuando enseño fuera de Guilleman y Pollack, incluso los estudiantes que nunca desarrollan una pista, siguen disfrutando de la experiencia.
