En $\mathbb{Z}_5[x]$ , dejemos que $ I = \langle x^2 + x + 2\rangle$ . Hallar la inversa multiplicativa de $2x + 3 + I$ en $\mathbb{Z}_5[x]/I$ .
Se supone que la respuesta es $3x + 1 + I$ . Pero no entiendo como encuentras esto. He dividido $x^2 + x + 2$ por $2x+3$ para obtener $$ x^2 + x + 2 = (2x + 3)(3x + 1) + 4.$$ Pero no estoy seguro de cómo me ayudará esto. Sé que los elementos de $\mathbb{Z}_5[x]/I$ son de la forma $ax + b$ con $a, b \in \mathbb{Z}_5$ . Así que quiero $$ 1 + I = (ax + b)(2x+3) + I = (2ax^2 + (3a+2b)x + 3b) + I. $$ Quiero encontrar los coeficientes $a, b$ de esto. Debemos tener $3b = 1$ y los coeficientes por $x$ y $x^2$ debe desaparecer. Dado que $\mathbb{Z}_5$ es un campo, la relación $3b = 1$ significa $b$ es la inversa multiplicativa de $3$ . Así que $b = 2$ . A partir de los coeficientes de $x$ También recibo $3a = -2b$ . Multiplico esto por $2$ para obtener $a = 6a = -4b = -8 = 2$ .
Así que yo diría que la inversa es $2x + 2$ en contradicción con la respuesta al final de mi libro. Entonces, ¿dónde está el error en mi razonamiento, y cómo encontrar la respuesta correcta?
