Cómo encontrar la serie Laurent para $\frac1{\sin(z)}$ en las regiones $0<|z|<\pi$ y $\pi<|z|<2\pi$ ?

Question

Sé que

$$ \begin{align} \frac1{\sin(z)} &=\frac1z\frac{z}{\sin(z)}\\ &=\frac1z\left(1-\frac{z^2}{3!}+\frac{z^4}{5!}-\frac{z^6}{7!}+\cdots\right)^{-1}\\ &=\frac1z\left(1+\frac{z^2}{6}+\frac{7z^4}{360}+\frac{31z^6}{15120}+\cdots\right)\\ &=\frac1z+\frac{z}{6}+\frac{7z^3}{360}+\frac{31z^5}{15120}+\cdots \end{align} $$

pero no estoy seguro de cómo seguir encontrando la serie Laurent para $\frac1{\sin(z)}$ en las regiones $0<|z|<\pi$ y $\pi<|z|<2\pi$ ?

Answer 1

Dado que la serie de potencias para $\;\sin z\;$ alrededor de cero tiene un radio de convergencia infinito que podemos utilizar en todas partes, así: para $\;z\;$ cercano a cero, tenemos

$$\frac1{\sin z}=\frac1{z-\frac{z^3}6+\frac{z^5}{120}-\ldots}=\frac1{z\left(1-\frac{z^2}6+\mathcal O(z^4)\right)}\stackrel{\text{geometric series}}=$$

$$=\frac1z\left(1+\frac{z^2}6+\frac{z^4}{36}+\ldots\right)=\frac1z+\frac z6+\ldots$$

Lo anterior es el comienzo de la serie Laurent, tal como lo tienes. Normalmente sólo nos interesan los primeros términos: lo suficiente para conocer la multiplicidad del polo y el residuo de la función allí.

Para $\;z=\pi\;$ puede hacer lo mismo que arriba en torno a $\;\pi\;$ utilizando $\;\sin(z-\pi)=-\sin z\;$ (obsérvese que entonces obtenemos residuo $\;-1\;$ como era de esperar...)