Subespacios vectoriales: base y elementos linealmente independientes

Question

Tengo dos preguntas con las que estoy luchando..

1. En un espacio de funciones reales tenemos un subespacio definido por el conjunto $V = \langle 1,x, \cos x, \sin x \rangle$ y su subespacio definido por el conjunto $W = \{f \in V\mid f(\pi) = 0\}$

Encontrar alguna base de $W$ .

2. ¿Cuántas secuencias linealmente independientes de dos elementos hay en el espacio $\mathbb{Z^2_3}$ ?

Creo que puedo obtener la respuesta del segundo problema aunque dudo que el método sea el más eficaz.
Creo que llegué a un número $24$ para ser el resultado, pero se trataba más bien de averiguarlo realmente considerando todas las opciones para el primer elemento de la secuencia (no puede ser el vector cero) y luego todas las opciones para el segundo elemento (no puede ser múltiplo del primero)..
Pero estoy bastante seguro de que debe haber alguna solución que utiliza más de álgebra lineal.

En cuanto al primer problema estoy bastante perdido ya que no se realmente que significa el problema y como debo enfocarlo.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Como la mayoría de las cuestiones de álgebra lineal, se reduce a resolver un sistema lineal de ecuaciones. En primer lugar, hay que tener en cuenta que las funciones $1,x,\sin(x)$ y $\cos(x)$ son linealmente independientes y, por tanto, forman una base para $V$ . Así, una función general en $V$ es de la forma

$$ f(x) = a + bx + c \cdot \mathrm{cos}(x) + d \cdot \mathrm{sin}(x) $$

donde $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ . Tenemos $f \in W$ sólo si $f(\pi) = 0$ sólo si

$$ f \left( \pi \right) = a + b \pi -c = 0.$$

Se trata de una ecuación lineal para los coeficientes $(a,b,c,d)$ de $f$ cuyo subespacio solución es un subespacio tridimensional $W'$ de $V' = \mathbb{R}^4$ dada por

$$ W' = \mathrm{span} \{ (0,0,0,1), (1, 0, 1, 0), (0, 1, \pi, 0 \}. $$

Traduciendo estas soluciones a $W$ vemos que una base de $W$ viene dada por

$$ W = \mathrm{span} \{ \mathrm{sin}(x), 1 + \mathrm{cos}(x), x + \pi \cos(x) \}. $$

Comprueba que entiendes por qué las funciones son linealmente independientes (al igual que los vectores que abarcan $W'$ eran) y forman una base para $W$ .

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En cuanto a tu segunda pregunta, tu método suena bien. El espacio vectorial $\mathbb{Z}_3^2$ tiene $3^2 = 9$ elementos. Suponiendo que nos importa el orden, una secuencia de dos elementos linealmente independientes $(v_1,v_2)$ consiste en un vector distinto de cero $v_1 \in \mathbb{Z}_3^2$ y un segundo vector $v_2$ que no sea múltiplo por un escalar de $v_1$ .

Para $v_1$ tenemos $8$ opciones. Dado $v_1$ hay tres vectores que dependen linealmente de $v_1$ - esos son $0 \cdot v_1 = 0$ , $1 \cdot v_1 = v_1$ y $2 \cdot v_1$ . Asegúrese de entender por qué $0, v_1$ y $2 v_1$ son necesariamente distintos. Así pues, nos queda $9 - 3 = 6$ opciones para $v_2$ . Finalmente, obtenemos $8 \cdot 6 = 48$ como respuesta. Si no nos importa el orden, en efecto obtenemos $24$ opciones.