Demuestre que un grupo de orden 440 tiene un único subgrupo de orden 55

Question

Necesito un poco de ayuda con esto, porque he estado luchando en él a pesar de que parece muy fácil.

Quiero demostrar que un grupo de orden $440$ tiene un único subgrupo de orden $55$ . Es muy fácil ver la existencia de este subgrupo (usando el teorema del segundo isomorfismo), pero no encuentro la manera de demostrar que es único.

Agradeceremos cualquier ayuda,

Gracias.

Answer 1

Aplicando el teorema de Sylow a los 11-Sylows en $G$ de orden 440, vemos que $G$ tiene un único 11-Sylow, que es por tanto normal--llamémoslo $H$ . Ahora, los subgrupos de orden 55 en $G$ corresponden 1-1 a los subgrupos de orden 5 en $G/H$ que son sus imágenes. (Si esto no es obvio al principio, tenga en cuenta que desde $H$ es el único subgrupo de orden 11 de $G$ debe ser un subgrupo de todo subgrupo de orden 55 de $G$ por Sylow aplicado al subgrupo de orden 55). Pero $G/H$ tiene orden 40 y claramente (por Sylow) sólo tiene 1 subgrupo de orden 5. Por lo tanto, $G$ sólo tiene un subgrupo de orden 55.