Para un espacio topológico $X$ ¿existe una condición equivalente bajo la cual cada subconjunto de $X$ tiene un número finito de puntos aislados?
Respuesta
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Adam Malter
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Todo espacio noetheriano tiene esta propiedad, y la inversa se cumple si suponemos que el espacio es $T_1$ .
En primer lugar, supongamos un subconjunto de $X$ tiene infinitos puntos aislados. Tomando un subconjunto contablemente infinito de esos puntos aislados, obtenemos un subespacio $D=\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subseteq X$ que es discreta. Ahora para cada $m$ , dejemos que $A_m=\overline{\{x_n:n\geq m\}}$ . Tenga en cuenta que si $n<m$ entonces $x_n\not\in A_m$ ya que existe un conjunto abierto que contiene $x_n$ y ningún otro elemento de $D$ . De ello se deduce que los conjuntos $A_m$ son todas distintas, y forman una secuencia infinita estrictamente decreciente de subconjuntos cerrados de $X$ . Así $X$ no es noetheriano.
Por el contrario, supongamos $X$ es $T_1$ y no es noetheriano. Sea $A_1\supset A_2\supset\dots$ sea una secuencia infinita estrictamente decreciente de subconjuntos cerrados de $X$ . Para cada $n$ elija un punto $x_n\in A_n\setminus A_{n-1}$ . Entonces reclamo el subconjunto $D=\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subseteq X$ es discreta (y en particular tiene infinitos puntos aislados). En efecto, para cada $n$ el conjunto $\{x_1,\dots,x_n\}$ está abierto en $D$ siendo la intersección de $D$ con el conjunto abierto $X\setminus A_{n+1}$ . Desde $X$ es $T_1$ se deduce que todo singleton es abierto en $D$ .
En $T_1$ hipótesis es necesaria en este caso. Por ejemplo $X=\mathbb{N}$ topologizado diciendo $\{m\in\mathbb{N}:m\leq n\}$ está abierto para cada $n$ . Entonces $X$ no es noetheriano, pero ningún subconjunto de $X$ tiene más de un punto aislado.
