¿Cómo se expresa la ecuación cuadrática en términos de mu y varianza?

Question

El artículo de Wikipedia para la distribución Normal dice que es más común expresar la función cuadrática $f(x) = ax^2+bx+c$ en términos de $\mu$ y $\sigma^2$ ¿cuál es la transformación que tengo que hacer para resolver eventualmente $\mu = -\frac{b}{2a}$ y $\sigma^2 = -\frac{1}{2a}$

Sé que puedo equiparar $ax^2 + bx +c =\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}$ pero no veo cómo se deriva el término correcto.

Answer 1

Completa el cuadrado: $$ ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c=a\left(x^2+2\frac{b}{2a}x +\frac{b^2}{4a^2}\right) - \frac{b^2}{4a} + c $$ $$ = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{b^2}{4a} + c \, . $$ Por lo tanto, $$ e^{ax^2+bx+c} = A\,e^{a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2} \, , $$ en el que $A=e^{- \frac{b^2}{4a} + c}$ y ésta es una densidad normal de la forma $$ \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}\left(x-\mu \right)^2} $$ sólo si $\mu = -\frac{b}{2a}$ , $-\frac{1}{2\sigma^2}=a$ y $\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} = A$ .

Terminas con sólo dos parámetros, $\mu$ y $\sigma$ en lugar de tres, porque se necesita una restricción que garantice que $e^{ax^2+bx+c}$ se integra en uno (es una densidad). En otras palabras, ya sabes que $c$ se determina a partir de $a$ y $b$ por $c=-\log\left(\int_{-\infty}^\infty e^{ax^2+bx}\, dx\right)$ .

Answer 2

Expandes algebraicamente -(x-μ) $^2$ /(2σ $^2$ ) y equiparar los coeficientes. Observa que a<0. Esto funciona en sentido contrario a la solución de Zen. Pero como él señala hay tres ecuaciones en dos incógnitas. Pero la restricción de que la densidad se integre a 1 lo reduce a 2 ecuaciones en dos incógnitas. Su manera completa los detalles.