Elección de los vectores de polarización, Cuantización del campo EM

Question

En Sakurai, Mecánica Cuántica Moderna 3ª edición, página 465, el libro escribe:

El conjunto de soluciones de $$\nabla^2\boldsymbol{A}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\boldsymbol{A}}{\partial t^2}=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(7.164)$$ se escriben naturalmente como $$\boldsymbol{A}(x,t)=\boldsymbol{A}(\boldsymbol{k})e^{\pm i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}e^{\pm i\omega t}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(7.165)$$ donde $\omega=\omega_k=|\boldsymbol{k}|c$ . La condición gauge de Coulomb implica $$\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{A}(\boldsymbol{k})=0.$$ El libro dice entonces que podemos elegir dos vectores unitarios $\hat{\boldsymbol{e}}^{(1)}_\boldsymbol{k}$ y $\hat{\boldsymbol{e}}_{\boldsymbol{k}}^{(2)}$ perpendicular a $\boldsymbol{k}$ que puede utilizarse para descomponer $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)$ . Mi pregunta es: ¿cómo estamos eligiendo $\hat{\boldsymbol{e}}^{(1)}_\boldsymbol{k}$ y $\hat{\boldsymbol{e}}_{\boldsymbol{k}}^{(2)}$ ? Porque creo que por razones topológicas no se pueden elegir continuamente. También qué hacer con $\boldsymbol{k}=0$ ?

Además, ¿por qué Sakurai utiliza polarización circular y no polarización lineal como en la QFT de Ryder, por ejemplo? ¿Qué ventaja ofrece la polarización circular?

Answer 1

Creo que se pueden definir los vectores de polarización $\mathbf e_{\mathbf k}^{(1)}, \mathbf e_{\mathbf k}^{(2)}$ para el $\mathbf k$ de cualquier manera, siempre que su producto punto sea cero. No es necesario que sean una función continua de $\hat{\mathbf{~k}}$ Al menos cualquier discontinuidad parece correcta si el campo se expresa como la serie de Fourier (suma sobre vectores de onda discretos), no como la integral de Fourier... pero no estoy seguro de esto.

Por ejemplo, se puede trabajar con coordenadas esféricas y definir esos dos vectores de polarización a partir de los vectores $\mathbf e_\phi, \mathbf e_\theta$ asociada a la dirección de $\mathbf k$ . Esto falla en los polos, pero, podemos completar la definición allí por una prescripción arbitraria tal como $\mathbf e_{\mathbf k}^{(1)} = (1,0,0)$ y $\mathbf e_{\mathbf k}^{(2)}=(0,1,0)$ . Por supuesto, esto es feo, pero no parece haber ningún problema matemático con esto.

Además, ¿por qué Sakurai utiliza polarización circular y no polarización lineal como en la QFT de Ryder, por ejemplo? ¿Qué ventaja ofrece la polarización circular?

Es sólo una elección diferente de la base para la expansión del mismo campo en el mismo espacio. Diferentes bases pueden ser ventajosas en diferentes circunstancias.

Si el campo tiene un componente importante que está realmente polarizado a la derecha (digamos que la luz sale de un cristal que convierte un haz de luz con polarización lineal en un haz de luz con polarización circular derecha), entonces sus coeficientes de expansión en la base de polarización lineal $\mathbf e_{\mathbf k}^{(1)}, \mathbf e_{\mathbf k}^{(2)}$ variarán con el tiempo, pero en la base de polarización circular, los coeficientes de expansión serán constantes. Esto puede ser útil en los cálculos, de forma similar en los que eliminamos la dependencia temporal trivial (factor de $e^{i\omega t}$ ) cuando se utiliza el método fasorial para encontrar soluciones estacionarias de ecuaciones diferenciales lineales en circuitos de corriente alterna. O como en QT cuando se elimina la dependencia temporal de las magnitudes centrales al pasar de la imagen de Schrodinger a la imagen de interacción, o cuando se utiliza la llamada aproximación de onda rotatoria.

Las dos bases están relacionadas entre sí, de esta manera: $$\mathbf e_{\mathbf k}^{(R)} = \mathbf e_{\mathbf k}^{(1)} + i \mathbf e_{\mathbf k}^{(2)},$$

$$\mathbf e_{\mathbf k}^{(L)} = \mathbf e_{\mathbf k}^{(1)} - i \mathbf e_{\mathbf k}^{(2)}.$$