Demuestra que $\frac {MA}{MB}\cdot \frac {MC}{MD}=\frac {NA}{NB}\cdot \frac {NC}{ND}$ .

Question

Sea ABCD un cuadrilátero y $AB\cap CD$ ={M}, $AD\cap BC$ ={N}.

Demuestra que $\frac {MA}{MB}\cdot \frac {MC}{MD}=\frac {NA}{NB}\cdot \frac {NC}{ND}$ .

Answer 1

Considere $K$ en $MA$ tal $DK$ en paralelo a $BC$ y $L$ en $NC$ así que $DL$ en paralelo a $AB$ . así que $BKLD$ paralelogramo así $KD=BL$

También $AS$ en paralelo a $BC$

así que $\frac{MC}{MD}=\frac{MB}{MK}$ y

$\frac{NA}{ND}=\frac{NB}{NL}$

$\frac{MA*MC}{MB*MD}=\frac{NA*NC}{ND*NB}\Leftrightarrow \frac{MA}{MK}=\frac{NC}{NL}\Leftrightarrow \frac{AS}{KD}=\frac{NC}{BL+NB}\Leftrightarrow\frac{KD+NB}{KD}=\frac{NC}{AS} \Leftrightarrow 1+\frac{NB}{KD}=\frac{NC}{AS}=\frac{NA+AD}{AD}=1+\frac{NA}{AD}$

Así que $\frac{NA}{AD}=\frac{NB}{KD}$ lo cual es cierto