Una extensión de la valoración p-ádica a una extensión cuadrática de $\mathbb{Q}_p$

Question

Intento resolver el siguiente problema. Demostrar que, si $d \in \mathbb{Z}_p$ no es cuadrado, entonces $|a + b \sqrt{d}|p = |a^2 b^2d|^{1/2}_p$ para cualquier $a, b \in \mathbb{Q}p$ , define una valoración no arquimediana sobre $\mathbb{Q}_p(\sqrt{d})$ que amplía el $|. |_p$ en $\mathbb{Q}_p$ .

La pista que se nos da es demostrar que $|\alpha|_p\le 1 \Rightarrow |\alpha +1|_p \le 1$ . He conseguido reducirlo a diferentes casos, y el único caso en el que sigo teniendo problemas $|a|_p=|b|_p$ . Aparentemente necesito utilizar el Lemma de Hensel de alguna manera, pero no sé cómo. ¿Alguien puede darme una pista?

Answer 1

Claro, una pista. Utiliza la forma buena de Hensel para demostrarlo: que $\alpha$ sea algebraico sobre $\Bbb Q_p$ con polinomio mínimo $f(X)$ cuyo término constante es $c$ . Si $c\in\Bbb Z_p$ (el $p$ -enteros), entonces todos los coeficientes de $f$ están en $\Bbb Z_p$ . Definitivamente, no es necesario dividir el problema en casos.

Answer 2

La pista de @Lubin funciona para todas las extensiones finitas de un campo completo, no sólo para las cuadráticas. Intentaré elaborar la sugerencia para el caso de grado $2$ extensiones de un campo completo $F$ con una valoración no arquimediana $|\cdot |$ .

Sea $\alpha = a + b \sqrt{d}$ con $b \ne 0$ . $\, \alpha$ y $\bar \alpha = a - b \sqrt{d}$ son las raíces del polinomio $x^2 - 2 a x + (a^2 - d b^2)$ . Supongamos que $|a^2 - d b^2| \le 1$ pero $|2 a| > 1$ . Demostraremos que la ecuación $x^2 - 2 a x + (a^2 - d b^2)= 0$ tiene una raíz en $F$ . La ecuación es equivalente a $$x = \frac{1}{2a}x^2 + \frac{a^2 - d b^2}{2a}= u x^2 + v$$

La función $x \mapsto u x^2 + v$ mapea el espacio completo (un anillo) $R\colon = \{x \ \colon \ |x|\le 1\}$ a sí misma y es una contracción, por lo tanto tiene un punto fijo (único), contradicción.

O bien: supongamos que tenemos $|a^2 - d b^2 | \le 1 $ . Tenemos la igualdad fácil de comprobar $$\left(\frac{a}{b}\right)^2 \cdot \left( 1 - \frac{ 4( a^2 - d b^2)}{(2a)^2}\right)= d$$ Si tuviéramos $|2 a | >1 $ entonces la norma de $\delta\, \colon = \frac{ ( a^2 - d b^2)}{(2a)^2}$ sería $<1$ y así $(1-4 \delta)$ y así $d$ sería un cuadrado, una contradicción. Por lo tanto, $|2a| \le 1$ y esto implica $|(a+1)^2 - d b^2|\le 1$ .