Sea $x,y\in\mathbb{R}^n$ . Supongamos que, para todo $z$ en la bola unitaria, $|x-z|=|y-z|=d_z$ . De ello se deduce que $|x| = |y|$ desde $0$ está en la bola unitaria. ¿Cómo podemos demostrar que $x=y$ ? Creo que debe ser verdad pero no puedo demostrarlo fácilmente.
Respuesta
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Puede utilizar el hecho de que $\bar x=x/|x|$ es la mejor aproximación única de $x\in \mathbb{R}^n\setminus B$ en $B$ .
Desde $$ |y-\bar x|=|x-\bar x|<|x-z|=|y-z| $$ para $z\in B\setminus\{\bar x\}$ por suposición, $\bar x$ es también la mejor aproximación de $y$ en $B$ . Por unicidad se deduce que $\bar x=\bar y$ . Como ya sabe $|x|=|y|$ ya está.
El caso $x\in B$ es trivial, ya que sólo tiene que utilizar $0=|x-x|=|y-x|$ . Por último, si se trabaja con la bola unitaria abierta en lugar de cerrada, basta con sustituir $B$ por una bola cerrada de radio menor en el argumento anterior.
