¿Qué podemos deducir de la distribución discreta $P(X \ge x) = {x^{- E(X)}}$ para cada $x$

Question

Una distribución de probabilidad discreta tiene la siguiente propiedad

$$ P(X \ge x) = {x^{- E(X)}} $$

donde $x$ es un número natural positivo y $E(X)$ es el valor esperado finito de la distribución. Se trata de una distribución de ley de potencia en la que el exponente resulta ser el valor esperado de la distribución.

Pregunta : Intento averiguar si existe una interpretación de esta distribución, es decir, qué significa que el exponente sea el valor esperado. ¿Hay algo que sea significativo o no trivial sobre tal distribución?

Editar : Math1000 ha dado una respuesta numérica que es correcta. En realidad, antes de publicar esta pregunta, yo había hecho el mismo cálculo utilizando la función zeta y obtuve la misma respuesta única. Sin embargo, lo que yo estaba buscando en mi pregunta es el interpretación de esta distribución, puede ser algo así como una interpretación física, si es que existe. Para ver de dónde vengo, he observado esta distribución en los datos económicos. Así, mientras que la función zeta da un ajuste numérico, quería ver si puedo explicar la distribución en el laico (económico) sentido.

Nota: He publicado esta pregunta en Estadísticas SE .

Answer 1

Informática $\mathbb E[X]$ encontramos que \begin{align} \mathbb E[X] &= \sum_{n=1}^\infty \mathbb P(X\geqslant n)\\ &=\sum_{n=1}^\infty n^{-\mathbb E[X]}\\ &=\zeta(\mathbb E[X]), \end{align} donde $\zeta$ es la función zeta de Riemann. Dado que $\zeta$ es decreciente, esta ecuación tiene una solución única y Wolfram Alpha da su valor numérico $\mathbb E[X]\approx 1.8338$ .