Una unión de n conjuntos con diferente orden, ¿cómo puedo demostrarlo?

Question

Sea $k_1,k_2,...,k_n$ sea cualquier ordenación de los índices $1,2,...,n$ entonces $\bigcup_{i=1}^{n}A_{k_i}=\bigcup_{i=1}^{n}A_i$

He probado la técnica de la doble contención sin buenos resultados, ¿hay algún teorema práctico que pueda utilizar?

Answer 1

Pista: dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos.

Answer 2

Sea $x\in \bigcup_{i=1}^{n}A_{k_i}$ . Entonces para algún m, $x\in A_{k_m}$ . Pero $ A_{k_m}$ es uno de $A_1, \dots A_n$ . Así que $x$ está en on de $A_1, \dots A_n. $ Por lo tanto $x \in\bigcup_{i=1}^{n}A_i$ . Hemos demostrado hasta ahora: $\bigcup_{i=1}^{n}A_{k_i}\subseteq\bigcup_{i=1}^{n}A_i$ .

Del mismo modo: $\bigcup_{i=1}^{n}A_i\subseteq \bigcup_{i=1}^{n}A_{k_i}$