Pregunta de álgebra lineal: ¿Cómo demostrar $Q=\frac{1}{4m}s^TBs=\frac{1}{4m}\displaystyle \sum_{i=1}^n (u_i^T \cdot s)^2\beta_i$ ?

Question

Algunos antecedentes:

$B$ es una matriz simétrica. La dirección $u_i$ 's representan $B$ vectores propios. La dirección $\beta_i$ representan los valores propios de B. $s$ es un $nx1$ vector y $m$ es una constante.

Pregunta: En clase, mi profesor escribió que $Q=\frac{1}{4m}s^TBs=\frac{1}{4m}\displaystyle \sum_{i=1}^n (u_i^T \cdot s)^2\beta_i$

Me cuesta probarme a mí mismo que la afirmación es cierta.

Esto es lo que he hecho hasta ahora:

Como B es una matriz simétrica, sé que $s$ puede representarse como una combinación lineal de $u_i$ 's. Así, $s= \displaystyle \sum _{i=1}^n a_iu_i$ .

Entonces, $Q=\frac{1}{4m}\displaystyle \sum_i a_iu_i^TB \displaystyle \sum_ja_ju_j$ .

Sin embargo, no sé muy bien qué hacer a partir de ahora. ¿Tengo que descomponer B? Agradecería cualquier orientación.

Answer 1

Empezando por donde lo dejaste: usas ese $B$ es lineal, y que eligió el $u_i$ de modo que formen una base ortonormal. Entonces

$$ Q=\frac{1}{4m} \sum_i a_iu_i^TB \sum_ja_ju_j\\ =\frac{1}{4m}\displaystyle \sum_i \sum_ja_ja_iu_i^TB \displaystyle u_j\\ =\frac{1}{4m}\displaystyle \sum_i \sum_ja_ja_iu_i^T\beta_j u_j\\ =\frac{1}{4m}\displaystyle \sum_i \sum_j\beta_ja_ja_iu_i^T u_j\\ =\frac{1}{4m}\displaystyle \sum_i \beta_ia_i^2\\ =\frac{1}{4m}\displaystyle \sum_i \beta_i(u_i^T\cdot s)^2. $$ Tenga en cuenta que $u_i^T\cdot s=a_i$ y que $u_j^Tu_i=\delta_{i,j}$ .