¿Es ésta una paradoja comúnmente conocida?

Question

Me gustaría saber si la siguiente paradoja es comúnmente conocida y tiene un nombre.

Graham Priest en su libro Lógica: Una introducción muy breve Al final del capítulo 12 "Probabilidad inversa", pide al lector que considere lo siguiente.

"Supongamos que un coche sale de Brisbane a mediodía y se dirige a una ciudad situada a 300 km. El coche circula a una velocidad media constante de entre 50 km/h y 100 km/h. ¿Qué podemos decir sobre la probabilidad de la hora de su llegada? Pues bien, si va a 100 km/h llegará a las 15.00 horas; y si va a 50 km/h, llegará a las 18.00 horas. El punto medio entre estas dos horas son las 16.30. Por tanto, según el Principio de Indiferencia, es tan probable que el coche llegue antes de las 16.30 como después. Pero ahora, el punto medio entre 50 km/h y 100 km/h es 75 km/h. Por lo tanto, según el Principio de Indiferencia, es tan probable que el coche circule a más de 75 km/h como a menos. Si va a 75 km/h, llegará a las 16.00. Por tanto, es tan probable que llegue antes de las 16.00 como después. En concreto, es más antes de las 16.30 que después. (Eso le da un extra media hora)".

Sacerdote se limita a mencionar que esto está relacionado de alguna manera con la Principio de indiferencia y que Thomas Bayes ( Probabilidad inversa ) así como Colin Howson y Peter Urbach ( Teoría de la probabilidad ) han realizado algunos trabajos en ese ámbito general.

Sin embargo, no he podido encontrar ninguna información concreta sobre este problema en sí.

Answer 1

No sé si esto tiene un nombre, aunque estoy de acuerdo con Derek Elkins en los comentarios en que está estrechamente relacionada con la paradoja de Bertrand, pero se puede resolver de la siguiente manera. Para simplificar describiré una versión discreta de lo que ocurre primero.

Supongamos que las posibles velocidades del coche son $50, 60, 70, 80, 90, 100$ km/h, espaciados uniformemente e igualmente probables. En concreto, hay tantas velocidades por debajo de $75$ km/h como por encima de él. ¿Qué implica esto sobre los posibles tiempos que dura el viaje? Pues que son

$$\frac{300}{50}, \frac{300}{60}, \frac{300}{70}, \frac{300}{80}, \frac{300}{90}, \frac{300}{100}$$

horas respectivamente. Éstas son no uniformemente espaciados; los espacios entre ellos están disminuyendo. A medio camino entre $\frac{300}{50} = 6$ y $\frac{300}{100} = 3$ es $4.5 = \frac{300}{66.666 \dots}$ que no es $\frac{300}{75}$ .

Lo mismo ocurre si se parte del supuesto de que la distribución de los tiempos de llegada es uniforme: entonces la distribución de las velocidades no será uniforme. Simplemente no es posible que ambas estén espaciadas por igual (que es más o menos lo que se obtendría aplicando repetidamente el principio de indiferencia).

En la versión continua, si tiene un uniforme densidad de probabilidad sobre velocidades en el intervalo $[50, 100]$ entonces la densidad de probabilidad correspondiente que tiene sobre los tiempos en el intervalo $[3, 6]$ no es uniforme y viceversa.

En la medida en que veo alguna relación con la probabilidad bayesiana es al plantear la cuestión de qué constituye una adecuada probabilidad previa si no se da más información que la de que la velocidad media está comprendida entre $50$ y $100$ .

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He aquí otra forma de describir la paradoja: no hay ambigüedad sobre lo que el principio de indiferencia dice que hay que hacer a un finito conjunto de posibilidades. Su distribución de probabilidad a priori es que cada elemento del conjunto tiene la misma probabilidad, y esta distribución es invariable bajo permutaciones arbitrarias del conjunto.

Sin embargo, hay mucha ambigüedad sobre cómo aplicar el principio de indiferencia a un infinito conjunto de posibilidades. Si las posibilidades están parametrizadas por un número real situado dentro de un intervalo, entonces la densidad de probabilidad uniforme sobre ese intervalo es no invariante bajo reparameterización, como vimos en este caso donde importa si piensas en el parámetro como tiempo o velocidad. E. T. Jaynes diría que es un caso de intento de aplicar intuiciones probabilísticas a conjuntos infinitos cuando en realidad sólo se aplican a conjuntos finitos.